Přímá úměrnost

Přímá úměrnost je nejjednodušší typ funkce. Setkáš se s ní všude: cena za kilogramy, mzda za hodiny práce, ujetá vzdálenost při konstantní rychlosti. V tomto článku se naučíš její předpis, graf a praktické využití.

Obsah článku

Co je přímá úměrnost
Koeficient úměrnosti k
Tabulka přímé úměrnosti
Graf přímé úměrnosti
Porovnání grafů pro různé k
Příklady z praxe
Jak rozpoznat přímou úměrnost
Procvičování

Co je přímá úměrnost

Přímá úměrnost je funkce tvaru:

y = k x

kde $k$ je nenulová konstanta nazývaná koeficient přímé úměrnosti.

Klíčová vlastnost:

Když se $x$ zvětší $n$ -krát, $y$ se také zvětší $n$ -krát.

Například: pokud 1 kg jablek stojí 1,50 Kč, tak 3 kg stojí $3 \times 1, 50 = 4, 50$ Kč. Trojnásobný nákup = trojnásobná cena.

Koeficient úměrnosti k

Koeficient $k$ určuje rychlost růstu funkce:

$k > 0$ → funkce je rostoucí (když $x$ roste, $y$ také roste)
$k < 0$ → funkce je klesající (když $x$ roste, $y$ klesá)
$∣ k ∣$ velké → přímka je strmá
$∣ k ∣$ malé → přímka je pozvolná

Koeficient $k$ můžeme vypočítat:

k = \frac{y}{x}

pro libovolný bod $[x, y]$ na grafu (kromě $[0, 0]$ ).

Tabulka přímé úměrnosti

Pro funkci $f (x) = 2 x$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$

💡 Všimni si: Pro $x = 0$ je vždy $f (0) = k \cdot 0 = 0$ . Graf přímé úměrnosti vždy prochází počátkem $[0, 0]$ .

Pro funkci $f (x) = - x$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

Graf přímé úměrnosti

Graf přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem $[0, 0]$ .

Graf y = 2x

Porovnání grafů pro různé k

Porovnejme grafy: $y = 2 x$ , $y = 0, 5 x$ a $y = - x$

Funkce	$k$	Typ	Strmost
$y = 2 x$	$2$	rostoucí	strmá
$y = 0, 5 x$	$0, 5$	rostoucí	pozvolná
$y = - x$	$- 1$	klesající	střední

💡 Pozoruj: Všechny tři přímky procházejí bodem $[0, 0]$ – to je znak přímé úměrnosti.

Příklady z praxe

Cena za kilogramy

Jablka stojí 2 Kč za kilogram.

Předpis: $f (x) = 2 x$ , kde $x$ = počet kg, $y$ = cena v Kč
$k = 2$ (cena za 1 kg)

kg	$0, 5$	$1$	$2$	$3$	$5$
cena (Kč)	$1$	$2$	$4$	$6$	$10$

Rychlost a vzdálenost

Auto jede konstantní rychlostí 60 km/h.

Předpis: $s = 60 t$ , kde $t$ = čas v hodinách, $s$ = vzdálenost v km
$k = 60$

čas (h)	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$
vzdálenost (km)	$30$	$60$	$90$	$120$	$180$

Obvod čtverce

Předpis: $o = 4 a$ , kde $a$ = strana, $o$ = obvod
$k = 4$

Jak rozpoznat přímou úměrnost

Přímou úměrnost rozpoznáš podle těchto znaků:

Předpis má tvar $y = k x$ (bez konstanty $q$ )
Graf je přímka procházející bodem $[0, 0]$
Tabulka – podíl $\frac{y}{x}$ je pro všechny řádky stejný (a rovný $k$ )
Slovně – „čím více $x$ , tím více $y$ " (resp. při $k < 0$ „čím více $x$ , tím méně $y$ ") ve stejném poměru

⚠️ Pozor: Funkce $y = 2 x + 3$ není přímá úměrnost (má konstantu $q = 3$ ). Je to lineární funkce.

Procvičování

Nakresli graf funkce $y = 3 x$ pro $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$
Jaký je koeficient $k$ , pokud víme, že $f (4) = 12$ ?
Auto jezdí rychlostí 80 km/h. Zapiš funkci vzdálenost/čas a nakresli graf.
Je $y = 5 x - 2$ přímá úměrnost? Proč ano/ne?

Interaktivní cvičení:

📖 Další články v tématu Funkce:
Funkce - Kompletní průvodce
Nepřímá úměrnost
Lineární funkce
Funkce - Zobrazení v grafu
Přehled vzorců a pojmů

Přímá úměrnost (8. a 9. ročník) – vysvětlení a graf