Nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost je typ funkce, kde když jedna veličina roste, druhá klesá – a naopak. Setkáš se s ní u úloh o dělnících a čase, rychlosti a čase, nebo tlaku a objemu. V tomto článku si ji podrobně vysvětlíme.

Obsah článku

Co je nepřímá úměrnost
Konstanta úměrnosti k
Tabulka nepřímé úměrnosti
Graf – hyperbola
Vlastnosti grafu
Příklady z praxe
Definiční obor a obor hodnot
Jak rozpoznat nepřímou úměrnost
Procvičování

Co je nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost je funkce tvaru:

y = \frac{k}{x}

kde $k$ je nenulová konstanta.

Klíčová vlastnost:

Když se $x$ zvětší $n$ -krát, $y$ se $n$ -krát zmenší (a naopak).

Součin $x \cdot y$ je vždy konstantní a rovný $k$ :

x \cdot y = k

Konstanta úměrnosti k

Konstanta $k$ je součin libovolné dvojice $x$ a $y$ :

k = x \cdot y

Příklad: Pokud 4 dělníci dokončí práci za 6 hodin, tak

k = 4 \cdot 6 = 24

$k > 0$ → hyperbola leží v I. a III. kvadrantu
$k < 0$ → hyperbola leží v II. a IV. kvadrantu

Tabulka nepřímé úměrnosti

Pro funkci $f (x) = \frac{12}{x}$ (tedy $k = 12$ ):

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$f (x)$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

Kontrola:

x \cdot f (x) = 12

pro každý sloupec.

$1 \cdot 12 = 12$ ✓
$2 \cdot 6 = 12$ ✓
$3 \cdot 4 = 12$ ✓
$4 \cdot 3 = 12$ ✓

Pro záporná $x$ :

$x$	$- 12$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$
$f (x)$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$- 12$

Graf – hyperbola

Graf nepřímé úměrnosti se nazývá hyperbola. Skládá se ze dvou větví.

Graf y = 12/x

Vlastnosti grafu

Graf nepřímé úměrnosti (hyperbola) má tyto důležité vlastnosti:

Nikdy neprotne osu $x$ – protože $\frac{k}{x}$ nikdy není nula
Nikdy neprotne osu $y$ – protože pro $x = 0$ funkce není definována
Osy jsou asymptoty – graf se k nim nekonečně blíží, ale nikdy jich nedosáhne
Dvě větve – jedna v I. a III. kvadrantu (pro $k > 0$ ), nebo v II. a IV. (pro $k < 0$ )
Střed symetrie je počátek $[0, 0]$

⚠️ Asymptota je přímka, ke které se graf nekonečně blíží, ale nikdy ji nedosáhne.

Příklady z praxe

Dělníci a čas

6 dělníků dokončí práci za 10 dní. Kolik dní to bude trvat 15 dělníkům?

$k = 6 \cdot 10 = 60$
Předpis: $t = \frac{60}{n}$ , kde $n$ = počet dělníků, $t$ = čas ve dnech

t = \frac{60}{15} = 4 dn \overset{ı}{ˊ}

dělníci	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$	$12$	$15$
dní	$30$	$20$	$15$	$12$	$10$	$6$	$5$	$4$

Rychlost a čas při konstantní vzdálenosti

Vzdálenost do školy je 12 km.

Předpis: $t = \frac{12}{v}$ , kde $v$ = rychlost (km/h), $t$ = čas (h)

rychlost (km/h)	$4$	$6$	$12$	$24$
čas (h)	$3$	$2$	$1$	$0, 5$

💡 Čím rychleji jedeš, tím dříve dorazíš – to je nepřímá úměrnost.

Cena na osobu při skupinovém nákupu

Dárek za 60 Kč kupují společně kamarádi. Každý platí stejně.

Předpis: $c = \frac{60}{n}$ , kde $n$ = počet kamarádů, $c$ = cena na osobu

Definiční obor a obor hodnot

Pro $f (x) = \frac{k}{x}$ :

D (f) = R ∖ {0}

Nemůžeme dosadit $x = 0$ (dělení nulou).

H (f) = R ∖ {0}

Funkce nikdy nenabude hodnoty $y = 0$ .

👉 Podrobněji: Definiční obor funkce | Obor hodnot funkce

Jak rozpoznat nepřímou úměrnost

Nepřímou úměrnost rozpoznáš podle:

Předpis má tvar $y = \frac{k}{x}$ nebo $x y = k$
Graf je hyperbola (dvě větve, neprotíná osy)
Tabulka – součin $x \cdot y$ je pro všechny řádky stejný
Slovně – „čím více jednoho, tím méně druhého" ve stejném poměru

Porovnání s přímou úměrností

	Přímá úměrnost	Nepřímá úměrnost
Předpis	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
Konstantní	podíl $\frac{y}{x} = k$	součin $x \cdot y = k$
Graf	přímka přes $[0, 0]$	hyperbola
Chování	obě rostou/klesají spolu	jedna roste, druhá klesá

Procvičování

Sestav tabulku pro $y = \frac{24}{x}$ pro $x \in {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
8 dělníků dokončí práci za 15 dní. Za kolik dní ji dokončí 12 dělníků?
Nakresli graf $y = \frac{6}{x}$ pro kladná $x$
Je $y = \frac{5}{x} + 2$ nepřímá úměrnost? Proč ano/ne?

Interaktivní cvičení:

📖 Další články v tématu Funkce:
Funkce - Kompletní průvodce
Přímá úměrnost
Lineární funkce
Definiční obor funkce
Obor hodnot funkce
Přehled vzorců a pojmů

Nepřímá úměrnost (8. a 9. ročník) – vysvětlení a graf