Definiční obor funkce

Definiční obor nám říká, jaké hodnoty $x$ můžeme do funkce dosadit. Ne vždy totiž můžeme dosadit libovolné číslo. V tomto článku se naučíš definiční obor určit a správně zapsat.

---

Obsah článku

• Co je definiční obor
• Značení
• Definiční obor lineární funkce
• Kdy není D(f) = R
• Zlomky – jmenovatel nesmí být nula
• Odmocniny – výraz pod odmocninou musí být nezáporný
• Intervalový zápis
• Grafické znázornění
• Procvičování

---

Co je definiční obor

Definiční obor funkce $f$ (značíme $D(f)$) je množina všech přípustných hodnot $x$, pro které je funkce definována.

Jinak řečeno: jsou to všechna čísla, která můžeme do funkce dosadit, abychom dostali smysluplný výsledek.

💡 Jednoduchá otázka: Pro jaké $x$ umím vypočítat $f(x)$?

---

Značení

Definiční obor zapisujeme:

Například:

• $D(f)=\mathbb{R}$ (všechna reálná čísla)
• $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (všechna reálná čísla kromě nuly)
• $D(f)=⟨0,+\infty )$ (nezáporná reálná čísla)

---

Definiční obor lineární funkce

Pro lineární funkci $f(x)=kx+q$ platí:

Do lineární funkce můžeme dosadit libovolné reálné číslo. Žádné omezení neexistuje.

Příklady:

• $f(x)=3x+2$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=-x+7$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=5x$ → $D(f)=\mathbb{R}$

Totéž platí pro přímou úměrnost $f(x)=kx$: $D(f)=\mathbb{R}$.

---

Kdy není D(f) = R

Definiční obor není celé $\mathbb{R}$, když se ve funkci vyskytuje:

V 8. a 9. ročníku se nejčastěji setkáš se zlomky a odmocninami.

---

Zlomky – jmenovatel nesmí být nula

Pokud je ve funkci zlomek, musíme zajistit, aby jmenovatel nebyl nula (dělení nulou není definováno).

Příklad 1: $f(x)=\frac{1}{x}$

Jmenovatel: $x$

Podmínka: $x\ne 0$

Příklad 2: $f(x)=\frac{3}{x-2}$

Jmenovatel: $x-2$

Podmínka: $x-2\ne 0⟹x\ne 2$

Příklad 3: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$

Jmenovatel: $x^2-4=(x-2)(x+2)$

Podmínka: $x\ne 2$ a $x\ne -2$

⚠️ Postup: Polož jmenovatel = 0, vyřeš rovnici a nalezená $x$ vyluč z definičního oboru.

---

Odmocniny – výraz pod odmocninou musí být nezáporný

Pokud je ve funkci odmocnina, výraz pod ní musí být $\ge 0$ (z reálných čísel neumíme odmocnit záporné číslo).

Příklad 1: $f(x)=\sqrt{x}$

Podmínka: $x\ge 0$

Příklad 2: $f(x)=\sqrt{x-3}$

Podmínka: $x-3\ge 0⟹x\ge 3$

Příklad 3: $f(x)=\sqrt{4-x}$

Podmínka: $4-x\ge 0⟹x\le 4$

---

Intervalový zápis

K zápisu definičního oboru používáme intervaly:

💡 Tip: U nekonečna ($\infty$) používáme vždy kulatou závorku – nekonečno není číslo, nedá se „dosáhnout".

---

Grafické znázornění

Na grafu vidíme definiční obor jako část osy $x$, pro kterou graf existuje.

---

Procvičování

Urči definiční obor následujících funkcí:

1. $f(x)=5x-3$
2. $f(x)=\frac{2}{x+1}$

3. $f(x)=\sqrt{x-5}$

1. $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$

5. $f(x)=\sqrt{2x+6}$

Interaktivní cvičení:

• Cvičení: Definiční obor

---

📖 Další články v tématu Funkce:

• Funkce - Kompletní průvodce
• Obor hodnot funkce
• Lineární funkce
• Nepřímá úměrnost
• Přehled vzorců a pojmů