Obor hodnot funkce

Obor hodnot nám říká, jaké hodnoty $y$ funkce nabývá. Zatímco definiční obor se ptá na $x$, obor hodnot se ptá na $y$. V tomto článku se naučíš obor hodnot určit z předpisu i z grafu.

---

Obsah článku

• Co je obor hodnot
• Značení
• Obor hodnot lineární funkce
• Obor hodnot konstantní funkce
• Obor hodnot pro y = x²
• Obor hodnot pro y = √x
• Čtení z grafu
• Porovnání D(f) a H(f)
• Procvičování

---

Co je obor hodnot

Obor hodnot funkce $f$ (značíme $H(f)$) je množina všech hodnot $y$, které funkce nabývá.

Jinak řečeno: jsou to všechna čísla, která se mohou objevit jako výstup funkce.

💡 Jednoduchá otázka: Jaké hodnoty $y$ se dají získat z této funkce?

---

Značení

Obor hodnot zapisujeme:

Například:

• $H(f)=\mathbb{R}$ (funkce nabývá všech reálných hodnot)
• $H(f)=⟨0,+\infty )$ (funkce nabývá jen nezáporných hodnot)
• $H(f)=\{5\}$ (funkce nabývá jen jedné hodnoty)

---

Obor hodnot lineární funkce

Pro lineární funkci $f(x)=kx+q$ (kde $k\ne 0$):

Lineární funkce nabývá všech reálných hodnot. Její graf (přímka) sahá od $-\infty$ do $+\infty$ ve směru osy $y$.

Příklady:

• $f(x)=3x+2$ → $H(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=-x+7$ → $H(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=0,5x$ → $H(f)=\mathbb{R}$

---

Obor hodnot konstantní funkce

Pro konstantní funkci $f(x)=q$ (kde $k=0$):

Funkce nabývá pouze jedné hodnoty, ať dosadíme jakékoliv $x$.

Příklady:

• $f(x)=5$ → $H(f)=\{5\}$
• $f(x)=-3$ → $H(f)=\{-3\}$

---

Obor hodnot pro y = x²

Pro funkci $f(x)=x^2$:

• $x^2$ je vždy nezáporné (čtverec jakéhokoliv čísla je $\ge 0$)
• Nejmenší hodnota je $f(0)=0$
• Funkce roste do nekonečna

Obecněji: $f(x)=x^2+q$

• $H(f)=⟨q,+\infty )$

Příklady:

• $f(x)=x^2+3$ → $H(f)=⟨3,+\infty )$
• $f(x)=x^2-5$ → $H(f)=⟨-5,+\infty )$

---

Obor hodnot pro y = √x

Pro funkci $f(x)=\sqrt{x}$:

• Odmocnina je vždy nezáporná
• Nejmenší hodnota je $f(0)=0$
• Funkce roste do nekonečna

---

Čtení z grafu

Obor hodnot z grafu určíme tak, že se podíváme, jaký rozsah pokrývá graf na ose $y$.

Postup:

1. Podívej se na graf
2. Zjisti, jaká je nejnižší hodnota $y$, kterou graf dosahuje
3. Zjisti, jaká je nejvyšší hodnota $y$, kterou graf dosahuje
4. Obor hodnot je interval mezi nimi

💡 Tip: Představ si, že „svítíš" na graf shora a zdola. Stín na ose $y$ je obor hodnot.

---

Porovnání D(f) a H(f)

---

Procvičování

Urči obor hodnot následujících funkcí:

1. $f(x)=4x-1$
2. $f(x)=7$
3. $f(x)=x^2+2$
4. $f(x)=-x^2$

5. $f(x)=\sqrt{x+1}$

Interaktivní cvičení:

• Cvičení: Obor hodnot

---

📖 Další články v tématu Funkce:

• Funkce - Kompletní průvodce
• Definiční obor funkce
• Funkce - Zobrazení v grafu
• Lineární funkce
• Přehled vzorců a pojmů