Povrch a objem valca

Valec je jedno z najčastejšie sa vyskytujúcich telies v bežnom živote -- plechovky, rúry, stĺpy, sviečky. V tomto článku sa naučíš vypočítať jeho povrch a objem krok za krokom.

Obsah článku

Čo je valec?
Diagram valca
Vzorce pre valec
Príklad 1: Povrch valca
Príklad 2: Objem valca
Príklad 3: Nájdi polomer
Sieť valca
Časté chyby
Cvičenia a súvisiace články

Čo je valec?

Valec (rotačný valec) je priestorové teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej jeho strany. Skladá sa z:

Dvoch kruhových podstáv -- horná a dolná, obe majú polomer $r$
Plášťa -- zakrivená bočná plocha, ktorá spája obe podstavy

Dôležité rozmery:

$r$ -- polomer podstavy
$h$ -- výška valca (kolmá vzdialenosť medzi podstavami)

Diagram valca

← 2r → h ↑↓

Valec má dve rovnaké kruhové podstavy (hore a dole) spojené zakrívenom plášťom.

Vzorce pre valec

Obsah podstavy

Podstava valca je kruh s polomerom $r$ :

S_{p} = π r^{2}

Plášť valca

Ak by si plášť valca "rozstrihol" a rozložil, dostal by si obdĺžnik so šírkou $2 π r$ (obvod podstavy) a výškou $h$ :

S_{pl} = 2 π r h

Celkový povrch

Povrch valca je súčet dvoch podstáv a plášťa:

S = 2 \cdot S_{p} + S_{pl} = 2 π r^{2} + 2 π r h

Môžeme vytknúť $2 π r$ :

S = 2 π r (r + h)

Objem valca

Objem valca je obsah podstavy krát výška:

V = S_{p} \cdot h = π r^{2} h

Zapamätaj si: Povrch = 2 kruhy + plášť. Objem = kruh krát výška.

Príklad 1: Povrch valca

Zadanie: Vypočítaj povrch valca s polomerom

r = 5

cm a výškou

h = 10

cm. Riešenie:

Najprv si vypočítame obsah jednej podstavy:

S_{p} = π r^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π \approx 78, 54 cm^{2}

Potom plášť:

S_{pl} = 2 π r h = 2 π \cdot 5 \cdot 10 = 100 π \approx 314, 16 cm^{2}

A celkový povrch:

S = 2 \cdot S_{p} + S_{pl} = 2 \cdot 25 π + 100 π = 50 π + 100 π = 150 π

S = 150 π \approx 471, 24 cm^{2}

Overenie pomocou vzorca:

S = 2 π r (r + h) = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 10) = 2 π \cdot 5 \cdot 15 = 150 π \approx 471, 24 cm^{2}

✓

Príklad 2: Objem valca

Zadanie: Vypočítaj objem valca s polomerom

r = 3

cm a výškou

h = 8

cm. Riešenie:

Použijeme vzorec pre objem:

V = π r^{2} h

Dosadíme:

V = π \cdot 3^{2} \cdot 8 = π \cdot 9 \cdot 8 = 72 π

V = 72 π \approx 226, 19 cm^{3}

Do tohto valca by sa teda vošlo približne $226, 19 cm^{3} \approx 0, 226$ litra vody.

Príklad 3: Nájdi polomer

Zadanie: Objem valca je

V = 500 cm^{3}

a jeho výška je

h = 10

cm. Aký je polomer podstavy? Riešenie:

Vychádzame zo vzorca pre objem a vyjadríme $r$ :

V = π r^{2} h

r^{2} = \frac{V}{π h}

r = \frac{V}{π h}

Dosadíme:

r = \frac{500}{π \cdot 10} = \frac{500}{10 π} = \frac{50}{π}

r = \frac{50}{3 , 14159} = 15, 915 \approx 3, 99 cm

r \approx 4, 0 cm

Sieť valca

Ak by si valec rozstrihol a rozložil na plochu, dostal by si sieť valca, ktorá sa skladá z:

Dvoch kruhov -- horná a dolná podstava, oba s polomerom $r$
Jedného obdĺžnika -- plášť, ktorého:

- šírka = obvod podstavy = $2 π r$

- výška = výška valca = $h$

2πr × h

Pochopenie siete valca ti pomôže zapamätať si vzorec na povrch -- jednoducho sčítaš obsahy všetkých troch častí.

Časté chyby

Zabúdanie na dve podstavy -- povrch valca obsahuje dva kruhy, nie jeden. Plášť samotný nie je celý povrch.
Zamieňanie priemeru a polomeru -- ak je v zadaní priemer $d$ , polomer je $r = d /2$ . Do vzorcov vždy dosadzuj $r$ .
Nesprávne jednotky -- povrch je v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$ .
Zaokrúhľovanie $π$ -- ak to zadanie nevyžaduje, nechaj výsledok v tvare s $π$ (napr. $150 π cm^{2}$ ). Je to presnejšie.

Cvičenia a súvisiace články

Cvičenia

Povrch valca -- precvič si výpočet povrchu
Objem valca -- precvič si výpočet objemu
Zmiešané úlohy -- valec -- rôzne typy úloh

Súvisiace články

Povrch a objem telies -- úvod
Povrch a objem kužeľa -- kužeľ má s valcom veľa spoločného
Povrch a objem gule
Povrch a objem ihlana
Prehľad vzorcov
Pytagorova veta -- využiješ pri kuželi a ihlane