Povrch a objem gule

Guľa je dokonale okrúhle teleso -- lopta, zemeguľa, mydlová bublina. Na rozdiel od ostatných telies má guľa len jeden parameter -- polomer $r$. Vďaka tomu sú vzorce pomerne jednoduché.

---

Obsah článku

• Čo je guľa?
• Diagram gule
• Vzorce pre guľu
• Príklad 1: Povrch gule
• Príklad 2: Objem gule
• Príklad 3: Nájdi polomer zo známeho povrchu
• Zaujímavosti o guli
• Časté chyby
• Cvičenia a súvisiace články

---

Čo je guľa?

Guľa je množina všetkých bodov v priestore, ktoré majú od pevného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť -- polomer $r$.

• Stred -- bod vnútri gule, od ktorého sú všetky body povrchu rovnako vzdialené
• Polomer ($r$) -- vzdialenosť od stredu k povrchu
• Priemer ($d$) -- vzdialenosť cez stred, $d=2r$

Povrch gule sa niekedy nazýva aj sféra -- to je len vonkajšia plocha (škrupinka), bez vnútra.

Dôležité: Guľa nemá žiadne hrany, žiadne vrcholy a žiadnu podstavu. Má len jeden zakrivený povrch.

---

Diagram gule

---

Vzorce pre guľu

Povrch gule

Zaujímavosť: Povrch gule je presne 4-krát obsah kruhu s rovnakým polomerom ($\pi r^2$). Teda $S=4\cdot \pi r^2$.

Objem gule

Zapamätaj si: Pri povrchu je $r^2$ (štvorec), pri objeme je $r^3$ (kocka). Koeficient je v oboch prípadoch $4$ -- pri objeme navyše delíme $3$.

---

Príklad 1: Povrch gule

Zadanie: Vypočítaj povrch gule s polomerom $r=7$ cm. Riešenie:

Odpoveď: Povrch gule je $196\pi \approx 615,75{\text{cm}}^2$.

---

Príklad 2: Objem gule

Zadanie: Vypočítaj objem gule s polomerom $r=5$ cm. Riešenie:

Odpoveď: Objem gule je $\frac{500\pi }{3}\approx 523,60{\text{cm}}^3$. To je asi $0,524$ litra.

---

Príklad 3: Nájdi polomer zo známeho povrchu

Zadanie: Povrch gule je $S=314,16{\text{cm}}^2$. Aký je jej polomer? Riešenie:

Vychádzame zo vzorca pre povrch a vyjadríme $r$:

Dosadíme:

Odpoveď: Polomer gule je $r=5$ cm.

Bonus -- vyjadrenie polomeru z objemu:

Ak poznáš objem a chceš nájsť polomer:

---

Zaujímavosti o guli

Guľa je najefektívnejší tvar

Spomedzi všetkých telies s rovnakým objemom má guľa najmenší povrch. Preto:

• Mydlové bubliny majú tvar gule -- príroda "hľadá" najmenší povrch
• Kvapky vody sú guľaté -- povrchové napätie ich formuje do gule
• Planéty sú približne guľaté -- gravitácia pôsobí rovnomerne zo všetkých strán

Guľa a valec (Archimedes)

Staroveký grécky matematik Archimedes objavil, že ak opíšeš valec okolo gule (rovnaký polomer a výška $=2r$):

• Povrch gule = $\frac{2}{3}$ povrchu opísaného valca (bez podstáv)
• Objem gule = $\frac{2}{3}$ objemu opísaného valca

Archimedes bol na tento objav tak hrdý, že si ho dal vyryť na náhrobný kameň.

Pologuľa

Ak guľu rozrežeš na polovicu, dostaneš pologuľu:

• Objem pologule: $V=\frac{2}{3}\pi r^3$
• Povrch pologule: $S=3\pi r^2$ (zakrivená plocha $2\pi r^2$ + kruhový rez $\pi r^2$)

---

Časté chyby

• Zamieňanie $r^2$ a $r^3$ -- povrch má $r^2$, objem má $r^3$. Daj pozor na exponent!
• Zabudnutie koeficientu $\frac{4}{3}$ -- objem gule je $\frac{4}{3}\pi r^3$, nie $\frac{4}{3}\pi r^2$ a nie $4\pi r^3$.
• Zamieňanie priemeru a polomeru -- ak je zadaný priemer lopty $d=20$ cm, polomer je $r=10$ cm.
• Nesprávne zaokrúhľovanie -- ak to zadanie nevyžaduje, nechaj výsledok v tvare s $\pi$.

---

Cvičenia a súvisiace články

Cvičenia

• Povrch a objem gule -- precvič si oba výpočty
• Zmiešané úlohy -- guľa -- rôzne typy úloh

Súvisiace články

• Povrch a objem telies -- úvod
• Povrch a objem valca
• Povrch a objem ihlana
• Povrch a objem kužeľa
• Prehľad vzorcov