Povrch a objem ihlana

Ihlan (pyramída) je teleso, ktoré poznáš napríklad z Egypta. V matematike sa najčastejšie stretneš s pravidelným štvorbokým ihlanom -- jeho základňa je štvorec a vrchol leží presne nad stredom základne. V tomto článku sa naučíš počítať jeho povrch a objem.

Obsah článku

Čo je ihlan?
Diagram ihlana
Dôležité rozmery
Vzťah medzi rozmermi
Vzorce pre ihlan
Príklad 1: Povrch ihlana
Príklad 2: Objem ihlana
Prečo tretina?
Časté chyby
Cvičenia a súvisiace články

Čo je ihlan?

Pravidelný štvorbokí ihlan sa skladá z:

Jednej štvorcovej základne -- štvorec so stranou $a$
Štyroch rovnoramenných trojuholníkových stien -- tvoria plášť ihlana
Jedného vrcholu -- bod, v ktorom sa stretávajú všetky bočné steny

Ihlan má teda spolu 5 stien (1 základňa + 4 bočné), 8 hrán a 5 vrcholov.

Diagram ihlana

← a →

Dôležité rozmery

Pri výpočtoch s ihlanom pracujeme s tromi rozmermi:

Symbol	Názov	Popis
$a$	hrana základne	strana štvorcovej základne
$h$	výška ihlana	kolmá vzdialenosť od základne k vrcholu
$h_{s}$	výška bočnej steny (apotéma)	vzdialenosť od stredu hrany základne k vrcholu (po bočnej stene)

Pozor: Výška $h$ a apotéma $h_{s}$ sú rôzne veci! Výška $h$ ide kolmo od základne nahor k vrcholu, apotéma $h_{s}$ ide šikmo po povrchu bočnej steny.

Vzťah medzi rozmermi

Výška $h$ , apotéma $h_{s}$ a polovica hrany základne $a /2$ tvoria pravouhlý trojuholník. Preto platí Pytagorova veta:

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

Tento vzťah potrebuješ vždy, keď poznáš $h$ a $a$ , ale nepoznáš $h_{s}$ (čo je väčšina úloh).

Naopak, ak poznáš $h_{s}$ :

h = h_{s}^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

Tip: Ak si potrebuješ zopakovať Pytagorovu vetu, pozri Pytagorova veta -- kompletný sprievodca.

Vzorce pre ihlan

Obsah základne

Základňa je štvorec so stranou $a$ :

S_{z} = a^{2}

Plášť ihlana

Plášť tvoria štyri rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Každý má základňu $a$ a výšku $h_{s}$ :

S_{pl} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_{s} = 2 a \cdot h_{s}

Celkový povrch

S = S_{z} + S_{pl} = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}

Objem ihlana

V = \frac{1}{3} \cdot S_{z} \cdot h = \frac{1}{3} a^{2} h

Zapamätaj si: Objem ihlana je tretina objemu hranola s rovnakou základňou a výškou.

Príklad 1: Povrch ihlana

Zadanie: Vypočítaj povrch pravidelného štvorbokého ihlana s hranou základne

a = 6

cm a výškou

h = 4

cm. Riešenie: Krok 1: Vypočítame apotému

h_{s}

pomocou Pytagorovej vety:

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 cm

Krok 2: Obsah základne:

S_{z} = a^{2} = 6^{2} = 36 cm^{2}

Krok 3: Plášť:

S_{pl} = 2 a \cdot h_{s} = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60 cm^{2}

Krok 4: Celkový povrch:

S = S_{z} + S_{pl} = 36 + 60 = 96 cm^{2}

Odpoveď: Povrch ihlana je $96 cm^{2}$ .

Príklad 2: Objem ihlana

Zadanie: Vypočítaj objem pravidelného štvorbokého ihlana s hranou základne

a = 10

cm a výškou

h = 12

cm. Riešenie:

Použijeme vzorec pre objem:

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Dosadíme:

V = \frac{1}{3} \cdot 1 0^{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400 cm^{3}

Odpoveď: Objem ihlana je $400 cm^{3}$ .

Prečo tretina?

Možno sa pýtaš, prečo je objem ihlana práve $\frac{1}{3}$ objemu hranola. Tu je intuitívne vysvetlenie:

Predstav si kocku so stranou $a$ . Kocku môžeš rozrezať na 3 rovnaké ihlany, z ktorých každý má:

základňu rovnú jednej stene kocky ( $a^{2}$ )
výšku rovnú hrane kocky ( $a$ )

Keďže tri ihlany tvoria jednu kocku, každý má objem $\frac{1}{3} a^{3} = \frac{1}{3} a^{2} \cdot a$ .

Tento princíp platí pre akúkoľvek výšku -- objem ihlana je vždy tretina objemu hranola s rovnakou základňou a výškou.

Časté chyby

Zabudnutá tretina -- objem ihlana je $\frac{1}{3} a^{2} h$ , nie $a^{2} h$ . Tá tretina je zásadná!
Zamieňanie $h$ a $h_{s}$ -- výška $h$ ide kolmo nahor, apotéma $h_{s}$ ide šikmo po stene. Do vzorca na objem patrí $h$ , do vzorca na plášť patrí $h_{s}$ .
Zabudnutie na Pytagorovu vetu -- ak v zadaní dostaneš len $a$ a $h$ , musíš si $h_{s}$ dopočítať.
Nesprávny výpočet apotémy -- v pravouhlom trojuholníku je jedna odvesna $h$ a druhá $a /2$ (nie $a$ !).

Cvičenia a súvisiace články

Cvičenia

Povrch ihlana -- precvič si výpočet povrchu
Objem ihlana -- precvič si výpočet objemu
Zmiešané úlohy -- ihlan -- rôzne typy úloh

Súvisiace články

Povrch a objem telies -- úvod
Povrch a objem valca
Povrch a objem kužeľa -- kužeľ je "okrúhly ihlan"
Povrch a objem gule
Prehľad vzorcov
Pytagorova veta -- potrebuješ na výpočet apotémy