Povrch a objem kužeľa

Kužeľ si ľahko predstavíš -- je to tvar kornútku na zmrzlinu, dopravného kužeľa alebo strechy veže. V tomto článku sa naučíš vypočítať jeho povrch a objem krok za krokom.

Obsah článku

Čo je kužeľ?
Diagram kužeľa
Dôležité rozmery
Vzťah medzi rozmermi -- Pytagorova veta
Vzorce pre kužeľ
Príklad 1: Povrch kužeľa
Príklad 2: Objem kužeľa
Súvislosť s valcom
Časté chyby
Cvičenia a súvisiace články

Čo je kužeľ?

Rotačný kužeľ je priestorové teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej odvesny. Skladá sa z:

Jednej kruhovej podstavy -- kruh s polomerom $r$
Plášťa -- zakrivená plocha, ktorá sa zbieha od okraja podstavy do jedného bodu
Vrcholu -- bod, v ktorom sa plášť zbieha

Kužeľ má teda jednu podstavu (na rozdiel od valca, ktorý má dve).

Diagram kužeľa

vrchol

Dôležité rozmery

Symbol	Názov	Popis
$r$	polomer podstavy	polomer kruhovej základne
$h$	výška kužeľa	kolmá vzdialenosť od podstavy k vrcholu
$s$	tvornica (strana)	vzdialenosť od okraja podstavy k vrcholu (po povrchu)

Pozor: Tvornica $s$ je šikmá vzdialenosť (po povrchu), výška $h$ je kolmá vzdialenosť. Tvornica je vždy dlhšia ako výška.

Vzťah medzi rozmermi -- Pytagorova veta

Polomer $r$ , výška $h$ a tvornica $s$ tvoria pravouhlý trojuholník. Preto platí:

s = r^{2} + h^{2}

Ak poznáš tvornicu a chceš vypočítať výšku:

h = s^{2} - r^{2}

Alebo polomer:

r = s^{2} - h^{2}

Tip: Toto je presne Pytagorova veta -- $r$ a $h$ sú odvesny, $s$ je prepona. Pozri Pytagorova veta.

Vzorce pre kužeľ

Obsah podstavy

Podstava kužeľa je kruh:

S_{p} = π r^{2}

Plášť kužeľa

Ak by si plášť kužeľa rozstrihol a rozložil, dostal by si kruhový výsek (výseč). Jeho obsah je:

S_{pl} = π r s

Celkový povrch

Povrch kužeľa je súčet podstavy a plášťa:

S = S_{p} + S_{pl} = π r^{2} + π r s

Môžeme vytknúť $π r$ :

S = π r (r + s)

Objem kužeľa

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Zapamätaj si: Objem kužeľa je tretina objemu valca s rovnakým polomerom a výškou.

Príklad 1: Povrch kužeľa

Zadanie: Vypočítaj povrch kužeľa s polomerom

r = 4

cm a výškou

h = 3

cm. Riešenie: Krok 1: Najprv potrebujeme tvornicu

s

. Použijeme Pytagorovu vetu:

s = r^{2} + h^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 cm

Všimni si, že sme dostali Pytagorovskú trojicu $(3, 4, 5)$ !

Krok 2: Obsah podstavy:

S_{p} = π r^{2} = π \cdot 4^{2} = 16 π \approx 50, 27 cm^{2}

Krok 3: Plášť:

S_{pl} = π r s = π \cdot 4 \cdot 5 = 20 π \approx 62, 83 cm^{2}

Krok 4: Celkový povrch:

S = S_{p} + S_{pl} = 16 π + 20 π = 36 π

S = 36 π \approx 113, 10 cm^{2}

Overenie pomocou vzorca:

S = π r (r + s) = π \cdot 4 \cdot (4 + 5) = 36 π \approx 113, 10 cm^{2}

✓

Príklad 2: Objem kužeľa

Zadanie: Vypočítaj objem kužeľa s polomerom

r = 6

cm a výškou

h = 8

cm. Riešenie:

Použijeme vzorec pre objem:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Dosadíme:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288 π}{3} = 96 π

V = 96 π \approx 301, 59 cm^{3}

Porovnanie: Valec s rovnakým $r$ a $h$ by mal objem $V_{v a l ec} = π \cdot 6^{2} \cdot 8 = 288 π \approx 904, 78 cm^{3}$ . Kužeľ má naozaj presne tretinu: $\frac{904 , 78}{3} \approx 301, 59$ . ✓

Súvislosť s valcom

Kužeľ a valec majú zaujímavý vzťah -- ak majú rovnaký polomer $r$ a rovnakú výšku $h$ :

V_{ku \overset{z}{ˇ} e \overset{ˇ}{l}} = \frac{1}{3} V_{valec}

Inak povedané: do jedného valca sa "vojdú" presne tri kužele rovnakého tvaru.

Toto ti pomôže zapamätať si vzorec -- objem kužeľa je ako objem valca, ale s koeficientom $\frac{1}{3}$ :

V_{valec} = π r^{2} h \Rightarrow V_{ku \overset{z}{ˇ} e \overset{ˇ}{l}} = \frac{1}{3} π r^{2} h

Rovnaký vzťah platí medzi ihlanom a hranolom -- ihlan je tretina hranola s rovnakou základňou a výškou.

Časté chyby

Zabudnutá tretina -- objem kužeľa je $\frac{1}{3} π r^{2} h$ , nie $π r^{2} h$ . To by bol objem valca!
Zamieňanie $h$ a $s$ -- do vzorca na objem patrí výška $h$ , do vzorca na plášť patrí tvornica $s$ .
Zabúdanie na výpočet tvornice -- ak v zadaní dostaneš len $r$ a $h$ , musíš si $s$ dopočítať pomocou Pytagorovej vety.
Kužeľ má len jednu podstavu -- na rozdiel od valca, kužeľ má len jeden kruh (dole). Neprirátavaj druhý!
Zamieňanie priemeru a polomeru -- ak je zadaný priemer $d$ , polomer je $r = d /2$ .

Cvičenia a súvisiace články

Cvičenia

Povrch kužeľa -- precvič si výpočet povrchu
Objem kužeľa -- precvič si výpočet objemu
Zmiešané úlohy -- kužeľ -- rôzne typy úloh

Súvisiace články

Povrch a objem telies -- úvod
Povrch a objem valca -- porovnaj s kužeľom
Povrch a objem ihlana -- ihlan je "hranatý kužeľ"
Povrch a objem gule
Prehľad vzorcov
Pytagorova veta -- potrebuješ na výpočet tvornice