Superficie y volumen de una pir\u00e1mide

La pir\u00e1mide es uno de los poliedros m\u00e1s conocidos -- desde las pir\u00e1mides de Egipto hasta los tejados de las casas. En este art\u00edculo aprender\u00e1s todas las f\u00f3rmulas necesarias y resolver\u00e1s tres ejemplos completos.

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es una pir\u00e1mide?
Magnitudes clave
Desarrollo plano de la pir\u00e1mide
\u00c1rea de la base
\u00c1rea lateral
Superficie total
Volumen
Ejemplo resuelto 1 -- Pir\u00e1mide cuadrangular (superficie)
Ejemplo resuelto 2 -- Volumen
Ejemplo resuelto 3 -- Hallar la altura
Resumen de f\u00f3rmulas
Art\u00edculos relacionados
Ejercicios de pr\u00e1ctica

\u00bfQu\u00e9 es una pir\u00e1mide?

Una pir\u00e1mide es un poliedro que tiene:

Una base poligonal (tri\u00e1ngulo, cuadrado, rect\u00e1ngulo, hex\u00e1gono...).
Caras laterales triangulares que convergen en un punto com\u00fan llamado \u00e1pice (o v\u00e9rtice superior).

La pir\u00e1mide m\u00e1s com\u00fan en los problemas escolares es la pir\u00e1mide regular de base cuadrada, donde la base es un cuadrado y el \u00e1pice se sit\u00faa justo encima del centro de la base.

Magnitudes clave

Lado de la base $a$ -- la longitud de cada lado de la base (si es regular).
Altura $h$ -- la distancia perpendicular desde la base hasta el \u00e1pice.
Apotema de la pir\u00e1mide $s$ (tambi\u00e9n llamada generatriz) -- la altura de cada cara lateral triangular, medida desde el punto medio de un lado de la base hasta el \u00e1pice.
Apotema de la base $a_{b}$ -- solo relevante para bases poligonales regulares; es la distancia del centro al punto medio de un lado.

```

\u25b3 \u2190 \u00e1pice

/ | \

/ h | \ s = apotema (generatriz)

/ .| \

/_____|_____\

```

Relaci\u00f3n entre $h$ , $s$ y la base: En una pir\u00e1mide regular de base cuadrada, $s$ , $h$ y la mitad del lado de la base forman un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo: $s^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .

Desarrollo plano de la pir\u00e1mide

Al desplegar una pir\u00e1mide regular de base cuadrada obtienes:

Un cuadrado (la base).
Cuatro tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles (las caras laterales), cada uno con base $a$ y altura $s$ .

```

\u25b3

/ \

/ s \

/______\ \u00d7 4 (caras laterales)

\u250c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2510

\u2502 \u2502

a \u2502 \u2502 (base cuadrada)

\u2502 \u2502

\u2514\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2518

```

\u00c1rea de la base

Depende de la forma de la base. Para los casos m\u00e1s frecuentes:

Base	F\u00f3rmula
Cuadrado (lado $a$ )	$S_{base} = a^{2}$
Rect\u00e1ngulo ( $a \times b$ )	$S_{base} = a \cdot b$
Tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero (lado $a$ )	$S_{base} = \frac{a ^{2} 3}{4}$

\u00c1rea lateral

Para una pir\u00e1mide regular, todas las caras laterales son tri\u00e1ngulos congruentes. El \u00e1rea lateral es:

S_{lat} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot s

donde $p$ es el per\u00edmetro de la base y $s$ es la apotema de la pir\u00e1mide.

Para una pir\u00e1mide de base cuadrada ( $p = 4 a$ ):

S_{lat} = \frac{1}{2} \cdot 4 a \cdot s = 2 a s

Superficie total

S = S_{base} + S_{lat}

Para una pir\u00e1mide regular de base cuadrada:

S = a^{2} + 2 a s

S = a (a + 2 s)

Volumen

El volumen de cualquier pir\u00e1mide es un tercio del producto del \u00e1rea de la base por la altura:

V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h

Para base cuadrada:

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Observa que el volumen de una pir\u00e1mide es exactamente un tercio del volumen del prisma con la misma base y altura.

Ejemplo resuelto 1 -- Pir\u00e1mide cuadrangular (superficie)

Problema: Una pir\u00e1mide regular tiene base cuadrada de lado

a = 6 cm

y apotema

s = 10 cm

. Halla su superficie total. Soluci\u00f3n:

\u00c1rea de la base:

S_{base} = a^{2} = 6^{2} = 36 cm^{2}

\u00c1rea lateral:

S_{lat} = 2 a s = 2 \cdot 6 \cdot 10 = 120 cm^{2}

Superficie total:

S = 36 + 120

S = 156 cm^{2}

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Problema: Una pir\u00e1mide regular de base cuadrada tiene lado

a = 8 cm

y altura

h = 15 cm

. Calcula su volumen. Soluci\u00f3n:

V = \frac{1}{3} a^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 8^{2} \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 15 = \frac{960}{3}

V = 320 cm^{3}

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar la altura

Problema: Una pir\u00e1mide regular de base cuadrada tiene lado

a = 10 cm

y apotema

s = 13 cm

. Halla la altura

h

. Soluci\u00f3n:

Usamos la relaci\u00f3n: $s^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$

1 3^{2} = h^{2} + 5^{2}

169 = h^{2} + 25

h^{2} = 144

h = 12 cm

Resumen de f\u00f3rmulas

Magnitud	F\u00f3rmula (base cuadrada, lado $a$ )
\u00c1rea de la base	$S_{base} = a^{2}$
\u00c1rea lateral	$S_{lat} = 2 a s$
Superficie total	$S = a^{2} + 2 a s$
Volumen	$V = \frac{1}{3} a^{2} h$
Relaci\u00f3n $h$ - $s$	$s^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$

Art\u00edculos relacionados

Ejercicios de pr\u00e1ctica

Pon a prueba tus conocimientos:

Superficie y volumen de una pir\u00e1mide -- F\u00f3rmulas y ejemplos