Superficie y volumen de cuerpos geom\u00e9tricos

Los cuerpos geom\u00e9tricos (s\u00f3lidos tridimensionales) est\u00e1n presentes en todas partes: latas, pelotas, tejados, embudos... En esta gu\u00eda aprender\u00e1s los conceptos fundamentales que necesitas para calcular su superficie y su volumen.

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es un cuerpo geom\u00e9trico?
Superficie vs. volumen
Magnitudes clave
Desarrollo plano (red)
Resumen de los cuerpos que estudiaremos
Tabla r\u00e1pida de f\u00f3rmulas
Consejos para resolver problemas
Ejemplo introductorio
Art\u00edculos relacionados
Ejercicios de pr\u00e1ctica

\u00bfQu\u00e9 es un cuerpo geom\u00e9trico?

Un cuerpo geom\u00e9trico (tambi\u00e9n llamado s\u00f3lido) es una figura tridimensional que ocupa un espacio. A diferencia de las figuras planas (2D), los cuerpos tienen:

Caras -- superficies planas o curvas que los limitan.
Aristas -- segmentos donde se encuentran dos caras.
V\u00e9rtices -- puntos donde confluyen tres o m\u00e1s aristas.

Los cuerpos que estudiaremos en este tema son cuerpos redondos (cilindro, cono, esfera) y la pir\u00e1mide, que es un poliedro.

Superficie vs. volumen

Estos dos conceptos se confunden a menudo. Aqu\u00ed tienes la diferencia clave:

Concepto	\u00bfQu\u00e9 mide?	Unidades
Superficie ( $S$ )	El \u00e1rea total de todas las caras del cuerpo	$cm^{2}$ , $m^{2}$ , ...
Volumen ( $V$ )	El espacio interior que ocupa el cuerpo	$cm^{3}$ , $m^{3}$ , litros, ...

Regla pr\u00e1ctica: la superficie es como la cantidad de papel que necesitas para envolver el cuerpo; el volumen es la cantidad de agua que cabe dentro.

Magnitudes clave

Antes de aplicar cualquier f\u00f3rmula, aseg\u00farate de identificar estas magnitudes:

Radio $r$ -- distancia del centro a la circunferencia de la base.
Di\u00e1metro $d = 2 r$ -- si el problema da el di\u00e1metro, divide entre 2 para obtener $r$ .
Altura $h$ -- distancia perpendicular entre las bases (o entre la base y el v\u00e9rtice).
Generatriz / apotema $s$ -- longitud de la l\u00ednea inclinada en conos y pir\u00e1mides.
\u00c1rea de la base $S_{base}$ -- \u00e1rea de la cara inferior (o superior) del cuerpo.
\u00c1rea lateral $S_{lat}$ -- \u00e1rea de la superficie que rodea al cuerpo (sin las bases).

Desarrollo plano (red)

El desarrollo plano de un cuerpo es lo que obtienes al "desplegarlo" sobre un plano. Comprender el desarrollo facilita mucho el c\u00e1lculo de la superficie, porque cada parte se convierte en una figura plana conocida (rect\u00e1ngulo, c\u00edrculo, tri\u00e1ngulo, sector circular...).

Por ejemplo, el desarrollo de un cilindro consta de:

Dos c\u00edrculos (bases)
Un rect\u00e1ngulo (superficie lateral)

Cada art\u00edculo individual incluye el desarrollo correspondiente al cuerpo que trata.

Resumen de los cuerpos que estudiaremos

Cilindro

Dos bases circulares paralelas unidas por una superficie lateral curva. Piensa en una lata de conservas.

\to

Art\u00edculo completo: Cilindro

Pir\u00e1mide

Una base poligonal y caras laterales triangulares que convergen en un v\u00e9rtice com\u00fan (el \u00e1pice).

\to

Art\u00edculo completo: Pir\u00e1mide

Cono

Una base circular y una superficie lateral que se estrecha hasta un v\u00e9rtice. Piensa en un cucurucho de helado.

\to

Art\u00edculo completo: Cono

Esfera

Todos sus puntos est\u00e1n a la misma distancia del centro. Piensa en un bal\u00f3n de f\u00fatbol.

\to

Art\u00edculo completo: Esfera

Tabla r\u00e1pida de f\u00f3rmulas

Cuerpo	Superficie total	Volumen
Cilindro	$S = 2 π r (r + h)$	$V = π r^{2} h$
Pir\u00e1mide	$S = S_{base} + S_{lat}$	$V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h$
Cono	$S = π r (r + s)$	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
Esfera	$S = 4 π r^{2}$	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Para la tabla completa con todas las f\u00f3rmulas intermedias, consulta el Resumen de f\u00f3rmulas.

Consejos para resolver problemas

Identifica el cuerpo. Dibuja un esquema si el enunciado no incluye figura.
Anota los datos. Escribe $r$ , $h$ , $s$ , etc., con sus unidades.
Convierte unidades si es necesario. Todos los datos deben estar en la misma unidad antes de sustituir.
Elige la f\u00f3rmula correcta. \u00bfTe piden superficie o volumen? \u00bfTotal o lateral?
Sustituye y calcula paso a paso. No saltes pasos; es f\u00e1cil equivocarse con $π$ .
Comprueba el resultado. \u00bfTiene sentido el orden de magnitud? \u00bfLas unidades son correctas?

Ejemplo introductorio

Problema: Un envase cil\u00edndrico tiene radio

r = 4 cm

y altura

h = 10 cm

. Calcula cu\u00e1nta chapa de metal se necesita para fabricarlo (superficie total) y cu\u00e1ntos mililitros de l\u00edquido cabe en su interior (volumen). Soluci\u00f3n: Superficie:

S = 2 π r (r + h) = 2 π \cdot 4 \cdot (4 + 10) = 2 π \cdot 4 \cdot 14 = 112 π

S \approx 351, 86 cm^{2}

Volumen:

V = π r^{2} h = π \cdot 4^{2} \cdot 10 = 160 π

V \approx 502, 65 cm^{3}

Como $1 cm^{3} = 1 ml$ :

V \approx 503 ml

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Ejercicios de pr\u00e1ctica

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