Superficie y volumen de un cilindro

El cilindro es uno de los cuerpos geom\u00e9tricos m\u00e1s habituales: latas, tuber\u00edas, columnas... En este art\u00edculo aprender\u00e1s todas las f\u00f3rmulas que necesitas y resolver\u00e1s tres ejemplos completos.

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?
Magnitudes clave
Desarrollo plano del cilindro
\u00c1rea de la base
\u00c1rea lateral
Superficie total
Volumen
Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total
Ejemplo resuelto 2 -- Volumen
Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio
Resumen de f\u00f3rmulas
Art\u00edculos relacionados
Ejercicios de pr\u00e1ctica

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?

Un cilindro es un cuerpo geom\u00e9trico tridimensional que posee:

Dos bases circulares paralelas de igual tama\u00f1o.
Una superficie lateral curva que une ambas bases.

Las bases son siempre c\u00edrculos congruentes y la superficie lateral las envuelve como la etiqueta de una lata.

Magnitudes clave

Todo cilindro queda descrito por dos medidas:

Radio $r$ -- el radio de cada base circular.
Altura $h$ -- la distancia perpendicular entre las dos bases.

      \u250c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2510
     \u2571       r       \u2572
    \u2571    \u25cf\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500      \u2572      \u25cf = centro
   \u2502                    \u2502
   \u2502         h          \u2502
   \u2502                    \u2502
    \u2572                  \u2571
     \u2572               \u2571
      \u2514\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2518

El di\u00e1metro es $d = 2 r$ . Si el problema te da el di\u00e1metro, recuerda dividirlo entre 2 para obtener $r$ .

Desarrollo plano del cilindro

Si "desenrollas" un cilindro y lo extiendes sobre un plano, obtienes su desarrollo:

Dos c\u00edrculos (bases superior e inferior).
Un rect\u00e1ngulo cuyo ancho es igual a la circunferencia de la base ( $2 π r$ ) y cuya altura es $h$ .

    \u250c\u2500\u2500\u2500\u2500 2\u03c0r \u2500\u2500\u2500\u2500\u2510
    \u2502              \u2502
  h \u2502 (rect\u00e1ngulo)  \u2502
    \u2502              \u2502
    \u2514\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2518

       \u25cb  (c\u00edrculo, radio r)  -- base superior
       \u25cb  (c\u00edrculo, radio r)  -- base inferior

Comprender el desarrollo hace muy f\u00e1cil entender de d\u00f3nde proviene cada parte de la f\u00f3rmula de la superficie.

\u00c1rea de la base

Cada base es un c\u00edrculo de radio $r$ :

S_{base} = π r^{2}

Como el cilindro tiene dos bases, el \u00e1rea combinada de ambas es:

2 S_{base} = 2 π r^{2}

\u00c1rea lateral

La superficie lateral, al desenrollarla, es un rect\u00e1ngulo de ancho $2 π r$ y altura $h$ :

S_{lat} = 2 π r h

Es el \u00e1rea de la "etiqueta" que envuelve el cilindro.

Superficie total

La superficie total es la suma de las dos bases y la superficie lateral:

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Se puede factorizar de forma elegante:

S = 2 π r (r + h)

Usa $S = 2 π r (r + h)$ como tu f\u00f3rmula principal para la superficie total del cilindro.

Volumen

El volumen de un cilindro es igual al \u00e1rea de la base multiplicada por la altura:

V = π r^{2} h

Tiene sentido intuitivo: est\u00e1s "apilando" c\u00edrculos de \u00e1rea $π r^{2}$ hasta una altura $h$ .

Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total

Problema: Un cilindro tiene radio

r = 5 cm

y altura

h = 12 cm

. Halla su superficie total. Soluci\u00f3n:

S = 2 π r (r + h)

S = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 12)

S = 2 π \cdot 5 \cdot 17

S = 170 π

S \approx 534, 07 cm^{2}

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Problema: Un dep\u00f3sito cil\u00edndrico de agua tiene di\u00e1metro

d = 1, 2 m

y altura

h = 2 m

. \u00bfCu\u00e1ntos litros de agua puede contener? Soluci\u00f3n:

Primero, hallamos el radio: $r = \frac{d}{2} = \frac{1 , 2}{2} = 0, 6 m$ .

V = π r^{2} h = π \cdot 0, 6^{2} \cdot 2 = π \cdot 0, 36 \cdot 2 = 0, 72 π

V \approx 2, 262 m^{3}

Convertimos a litros ( $1 m^{3} = 1000 l$ ):

V \approx 2262 l

El dep\u00f3sito puede contener aproximadamente 2 262 litros de agua.

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio

Problema: Un cilindro tiene volumen

V = 1000 cm^{3}

y altura

h = 8 cm

. Halla el radio. Soluci\u00f3n:

Partimos de la f\u00f3rmula del volumen y despejamos $r$ :

V = π r^{2} h

r^{2} = \frac{V}{π h} = \frac{1 000}{π \cdot 8} = \frac{1 000}{8 π} = \frac{125}{π}

r = \frac{125}{π} \approx 39, 79

r \approx 6, 31 cm

Resumen de f\u00f3rmulas

Magnitud	F\u00f3rmula
\u00c1rea de la base	$S_{base} = π r^{2}$
\u00c1rea lateral	$S_{lat} = 2 π r h$
Superficie total	$S = 2 π r (r + h)$
Volumen	$V = π r^{2} h$

Art\u00edculos relacionados

Ejercicios de pr\u00e1ctica

Pon a prueba tus conocimientos:

Superficie y volumen de un cilindro -- F\u00f3rmulas y ejemplos

Superficie y volumen de un cilindro

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?

Magnitudes clave

Desarrollo plano del cilindro

\u00c1rea de la base

\u00c1rea lateral

Superficie total

Volumen

Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio

Resumen de f\u00f3rmulas

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