Superficie y volumen de un cilindro

El cilindro es uno de los cuerpos geom\u00e9tricos m\u00e1s habituales: latas, tuber\u00edas, columnas... En este art\u00edculo aprender\u00e1s todas las f\u00f3rmulas que necesitas y resolver\u00e1s tres ejemplos completos.

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?
Magnitudes clave
Desarrollo plano del cilindro
\u00c1rea de la base
\u00c1rea lateral
Superficie total
Volumen
Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total
Ejemplo resuelto 2 -- Volumen
Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio
Resumen de f\u00f3rmulas
Art\u00edculos relacionados
Ejercicios de pr\u00e1ctica

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?

Un cilindro es un cuerpo geom\u00e9trico tridimensional que posee:

Dos bases circulares paralelas de igual tama\u00f1o.
Una superficie lateral curva que une ambas bases.

Las bases son siempre c\u00edrculos congruentes y la superficie lateral las envuelve como la etiqueta de una lata.

Magnitudes clave

Todo cilindro queda descrito por dos medidas:

Radio $r$ -- el radio de cada base circular.
Altura $h$ -- la distancia perpendicular entre las dos bases.

```

\u250c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2510

\u2571 r \u2572

\u2571 \u25cf\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 \u2572 \u25cf = centro

\u2502 \u2502

\u2502 h \u2502

\u2502 \u2502

\u2572 \u2571

\u2514\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2518

```

El di\u00e1metro es $d = 2 r$ . Si el problema te da el di\u00e1metro, recuerda dividirlo entre 2 para obtener $r$ .

Desarrollo plano del cilindro

Si "desenrollas" un cilindro y lo extiendes sobre un plano, obtienes su desarrollo:

Dos c\u00edrculos (bases superior e inferior).
Un rect\u00e1ngulo cuyo ancho es igual a la circunferencia de la base ( $2 π r$ ) y cuya altura es $h$ .

```

\u250c\u2500\u2500\u2500\u2500 2\u03c0r \u2500\u2500\u2500\u2500\u2510

\u2502 \u2502

h \u2502 (rect\u00e1ngulo) \u2502

\u2502 \u2502

\u2514\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2518

\u25cb (c\u00edrculo, radio r) -- base superior

\u25cb (c\u00edrculo, radio r) -- base inferior

```

Comprender el desarrollo hace muy f\u00e1cil entender de d\u00f3nde proviene cada parte de la f\u00f3rmula de la superficie.

\u00c1rea de la base

Cada base es un c\u00edrculo de radio $r$ :

S_{base} = π r^{2}

Como el cilindro tiene dos bases, el \u00e1rea combinada de ambas es:

2 S_{base} = 2 π r^{2}

\u00c1rea lateral

La superficie lateral, al desenrollarla, es un rect\u00e1ngulo de ancho $2 π r$ y altura $h$ :

S_{lat} = 2 π r h

Es el \u00e1rea de la "etiqueta" que envuelve el cilindro.

Superficie total

La superficie total es la suma de las dos bases y la superficie lateral:

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Se puede factorizar de forma elegante:

S = 2 π r (r + h)

Usa $S = 2 π r (r + h)$ como tu f\u00f3rmula principal para la superficie total del cilindro.

Volumen

El volumen de un cilindro es igual al \u00e1rea de la base multiplicada por la altura:

V = π r^{2} h

Tiene sentido intuitivo: est\u00e1s "apilando" c\u00edrculos de \u00e1rea $π r^{2}$ hasta una altura $h$ .

Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total

Problema: Un cilindro tiene radio

r = 5 cm

y altura

h = 12 cm

. Halla su superficie total. Soluci\u00f3n:

S = 2 π r (r + h)

S = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 12)

S = 2 π \cdot 5 \cdot 17

S = 170 π

S \approx 534, 07 cm^{2}

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Problema: Un dep\u00f3sito cil\u00edndrico de agua tiene di\u00e1metro

d = 1, 2 m

y altura

h = 2 m

. \u00bfCu\u00e1ntos litros de agua puede contener? Soluci\u00f3n:

Primero, hallamos el radio: $r = \frac{d}{2} = \frac{1 , 2}{2} = 0, 6 m$ .

V = π r^{2} h = π \cdot 0, 6^{2} \cdot 2 = π \cdot 0, 36 \cdot 2 = 0, 72 π

V \approx 2, 262 m^{3}

Convertimos a litros ( $1 m^{3} = 1000 l$ ):

V \approx 2262 l

El dep\u00f3sito puede contener aproximadamente 2 262 litros de agua.

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio

Problema: Un cilindro tiene volumen

V = 1000 cm^{3}

y altura

h = 8 cm

. Halla el radio. Soluci\u00f3n:

Partimos de la f\u00f3rmula del volumen y despejamos $r$ :

V = π r^{2} h

r^{2} = \frac{V}{π h} = \frac{1 000}{π \cdot 8} = \frac{1 000}{8 π} = \frac{125}{π}

r = \frac{125}{π} \approx 39, 79

r \approx 6, 31 cm

Resumen de f\u00f3rmulas

Magnitud	F\u00f3rmula
\u00c1rea de la base	$S_{base} = π r^{2}$
\u00c1rea lateral	$S_{lat} = 2 π r h$
Superficie total	$S = 2 π r (r + h)$
Volumen	$V = π r^{2} h$

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Ejercicios de pr\u00e1ctica

Pon a prueba tus conocimientos:

Superficie y volumen de un cilindro -- F\u00f3rmulas y ejemplos

Superficie y volumen de un cilindro

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es un cilindro?

Magnitudes clave

Desarrollo plano del cilindro

\u00c1rea de la base

\u00c1rea lateral

Superficie total

Volumen

Ejemplo resuelto 1 -- Superficie total

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio

Resumen de f\u00f3rmulas

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