Superficie y volumen de una esfera

La esfera es el cuerpo geom\u00e9trico m\u00e1s "perfecto": balones, planetas, burbujas... En este art\u00edculo aprender\u00e1s las f\u00f3rmulas de su superficie y volumen, y resolver\u00e1s tres ejemplos completos.

Tabla de contenido

\u00bfQu\u00e9 es una esfera?
Magnitudes clave
Superficie de la esfera
Volumen de la esfera
\u00bfDe d\u00f3nde vienen estas f\u00f3rmulas?
Ejemplo resuelto 1 -- Superficie
Ejemplo resuelto 2 -- Volumen
Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio
Resumen de f\u00f3rmulas
Art\u00edculos relacionados
Ejercicios de pr\u00e1ctica

\u00bfQu\u00e9 es una esfera?

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Caracter\u00edsticas:

No tiene aristas ni v\u00e9rtices.
Tiene una \u00fanica superficie curva continua.
Cualquier secci\u00f3n plana de una esfera es un c\u00edrculo.
La secci\u00f3n m\u00e1xima (que pasa por el centro) se llama c\u00edrculo m\u00e1ximo.

Magnitudes clave

La esfera es el cuerpo m\u00e1s sencillo en cuanto a datos: solo necesitas una medida.

Radio $r$ -- la distancia del centro a cualquier punto de la superficie.
Di\u00e1metro $d = 2 r$ -- si te dan el di\u00e1metro, divide entre 2.

```

.--~~~--.

/ r \

| \u25cf\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 | \u25cf = centro

\ /

'--___--'

```

Superficie de la esfera

La superficie de una esfera es exactamente cuatro veces el \u00e1rea de un c\u00edrculo m\u00e1ximo:

S = 4 π r^{2}

Dato curioso: la superficie de una esfera es igual al \u00e1rea lateral de un cilindro que la circunscribe (mismo radio y altura $2 r$ ).

Volumen de la esfera

V = \frac{4}{3} π r^{3}

El volumen de una esfera es exactamente dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

\u00bfDe d\u00f3nde vienen estas f\u00f3rmulas?

Arqu\u00edmedes demostr\u00f3 hace m\u00e1s de 2 000 a\u00f1os que el volumen de una esfera es $\frac{2}{3}$ del volumen del cilindro circunscrito.

El cilindro circunscrito tiene radio $r$ y altura $2 r$ , as\u00ed que su volumen es:

V_{cilindro} = π r^{2} \cdot 2 r = 2 π r^{3}

Por lo tanto:

V_{esfera} = \frac{2}{3} \cdot 2 π r^{3} = \frac{4}{3} π r^{3}

Para la superficie, se puede demostrar con c\u00e1lculo integral que $S = 4 π r^{2}$ , pero en el nivel escolar basta con recordar la f\u00f3rmula y su relaci\u00f3n con el c\u00edrculo m\u00e1ximo.

Ejemplo resuelto 1 -- Superficie

Problema: Una esfera tiene radio

r = 7 cm

. Halla su superficie. Soluci\u00f3n:

S = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 7^{2} = 4 π \cdot 49 = 196 π

S \approx 615, 75 cm^{2}

Ejemplo resuelto 2 -- Volumen

Problema: Un bal\u00f3n de f\u00fatbol tiene di\u00e1metro

d = 22 cm

. Calcula su volumen. Soluci\u00f3n:

Primero, el radio: $r = \frac{d}{2} = \frac{22}{2} = 11 cm$ .

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1 1^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1331 = \frac{5 324}{3} π

V \approx 1774, 67 \cdot π \approx 5575, 28 cm^{3}

V \approx 5575 cm^{3}

Ejemplo resuelto 3 -- Hallar el radio

Problema: Una esfera tiene volumen

V = 904, 78 cm^{3}

. Halla su radio. Soluci\u00f3n:

Despejamos $r$ de la f\u00f3rmula del volumen:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

r^{3} = \frac{3 V}{4 π} = \frac{3 \cdot 904 , 78}{4 π} = \frac{2 714 , 34}{4 π} = \frac{2 714 , 34}{12 , 566} \approx 215, 98

r = 3 215, 98

r \approx 6, 00 cm

Resumen de f\u00f3rmulas

Magnitud	F\u00f3rmula
Superficie	$S = 4 π r^{2}$
Volumen	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

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Ejercicios de pr\u00e1ctica

Pon a prueba tus conocimientos:

Superficie y volumen de una esfera -- F\u00f3rmulas y ejemplos