Subconjuntos e igualdad de conjuntos

Subconjuntos e igualdad de conjuntos

En una clase hay 28 alumnos y 9 de ellos cantan en el coro del instituto. Cada miembro del coro es también alumno de la clase: el coro es una parte de la clase. En matemáticas decimos que el conjunto de los miembros del coro es un subconjunto del conjunto de alumnos de la clase.

Índice

Subconjunto

A es subconjunto de B si todos los elementos de A están también en B. Se escribe:

A ⊂ B — se lee «A está contenido en B» o «A es subconjunto de B».

Diagrama de Venn: el círculo B está entero dentro del círculo A

En la imagen, el círculo B está entero dentro del círculo A, así que B ⊂ A. No hay nada en B que no esté también en A.

Ejemplos:

  • {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} — el 2 y el 4 están en el conjunto grande,
  • ℕ ⊂ ℤ — todo natural es entero,
  • {1, 5} ⊄ {1, 2, 3} — el 5 no está en el conjunto grande. El símbolo ⊄ significa «no es subconjunto».

Dos reglas curiosas:

  • Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A ⊂ A.
  • El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: ∅ ⊂ A. No tiene ningún elemento que pueda «faltar».

💡 En algunos libros se escribe A ⊆ B para «subconjunto, quizá igual» y A ⊊ B para «subconjunto y distinto». Aquí usamos ⊂ en el primer sentido.

Cómo comprobar si A ⊂ B

Recorre los elementos de A uno a uno y pregúntate en cada uno: «¿Está también en B?».

  • Si la respuesta es sí en todos → A ⊂ B.
  • Si encuentras aunque sea un elemento de A que no está en B → A ⊄ B.

Ejemplo resuelto 1

¿Es A = {3, 6, 9} subconjunto de B = {x ∈ ℕ / x es divisor de 18}?

  1. Escribimos B por extensión: los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18. B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  2. 3 ∈ B ✓, 6 ∈ B ✓, 9 ∈ B ✓.
  3. Sí, A ⊂ B.

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales (A = B) si tienen exactamente los mismos elementos. Dicho de otra forma: A ⊂ B y, además, B ⊂ A.

No importa el orden ni la forma de escribirlos:

  • {1, 2, 3} = {3, 1, 2},
  • {x ∈ ℤ / x² = 4} = {−2, 2},
  • {x ∈ ℕ / x es primo y par} = {2}.

💡 La igualdad se comprueba en dos pasos: primero, que cada elemento de A esté en B; después, que cada elemento de B esté en A.

Cuando ninguno es subconjunto del otro

Muchas veces ni A ⊂ B ni B ⊂ A. Por ejemplo, A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}:

  • el 1 está en A pero no en B → A ⊄ B,
  • el 4 está en B pero no en A → B ⊄ A.

Tienen elementos en común (el 2 y el 3), pero cada uno tiene también algo «suyo».

Conjuntos por comprensión

Si un conjunto está dado por una propiedad, escribe primero sus elementos. Solo después compara.

Ejemplo resuelto 2

Compara A = {x ∈ ℤ / |x| ≤ 2} y B = {x ∈ ℤ / −2 ≤ x < 3}.

  1. A: enteros a distancia 2 o menos del cero. A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  2. B: enteros desde −2 (incluido) hasta 3 (sin el 3). B = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  3. Tienen exactamente los mismos elementos. A = B.

Ejemplo resuelto 3

Compara A = {x ∈ ℕ / x es divisor de 6} y B = {x ∈ ℕ / x es divisor de 12}.

  1. A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
  2. Todo elemento de A está en B → A ⊂ B.
  3. El 4 está en B pero no en A → A ≠ B.
  4. A ⊂ B y A ≠ B. (Todo divisor de 6 divide también a 12, porque 6 divide a 12.)

Errores frecuentes

  • El sentido del símbolo: A ⊂ B dice que A es más pequeño o igual: «A está dentro de B», no al revés.
  • Basta con algunos elementos: no es suficiente con que A y B tengan algo en común. Todos los elementos de A tienen que estar en B.
  • El orden: {1, 2, 3} y {3, 2, 1} son el mismo conjunto.
  • Olvidar el vacío: ∅ ⊂ A se cumple para cualquier conjunto A.

En resumen

  • A ⊂ B: todos los elementos de A están en B.
  • A = B: A ⊂ B y B ⊂ A. Mismos elementos, el orden no importa.
  • A ⊂ A y ∅ ⊂ A se cumplen siempre.
  • Los conjuntos por comprensión se escriben primero por extensión y después se comparan.

Pruébalo tú

  1. ¿Es cierto que {2, 5} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}?
  2. ¿Es cierto que {−1, 1} ⊂ ℕ?
  3. Compara A = {x ∈ ℤ / x² = 16} y B = {−4, 4}.
  4. Compara A = {x ∈ ℕ / x es primo, x < 10} y B = {x ∈ ℕ / x es impar, x < 10}.
  5. Escribe todos los subconjuntos de {a, b}.

Soluciones

  1. Sí, el 2 y el 5 están en el conjunto grande.
  2. No, −1 ∉ ℕ.
  3. A = {−4, 4}, así que A = B.
  4. A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. 2 ∈ A pero 2 ∉ B, y 1 ∈ B pero 1 ∉ A. Ninguno es subconjunto del otro.
  5. ∅, {a}, {b}, {a, b}: cuatro subconjuntos. No olvides el vacío ni el propio conjunto.

Practica

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