La profesora de Educación Física dice: «Al equipo de voleibol van todos los que miden 1,75 m o más». Todavía no ha nombrado a nadie, pero ya está claro quién entra en el equipo. Basta con medir a cada alumno.
Así funciona un conjunto. Es un grupo de cosas en el que, para cada cosa, se puede decir sin dudas si pertenece al grupo o no. Las cosas que pertenecen al conjunto se llaman elementos.
Índice
- Qué es un conjunto
- Los símbolos ∈ y ∉
- Conjunto por extensión
- Conjunto por comprensión
- El conjunto vacío
- Conjuntos finitos e infinitos
- Errores frecuentes
- En resumen
- Pruébalo tú
- Soluciones
- Practica
Qué es un conjunto
Imagina un conjunto como una bolsa en la que metemos cosas. Hay dos reglas importantes:
- De cada cosa tiene que estar claro si está en la bolsa o no.
- Cada cosa está en la bolsa como mucho una vez. No contamos dos veces lo mismo.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, M… Los elementos se escriben entre llaves { }.
Ejemplos:
- los días del fin de semana: {sábado, domingo},
- las vocales de la palabra «casa»: {a} — la «a» se escribe una sola vez,
- los números pares menores que 10: {2, 4, 6, 8}.
⚠️ «Las películas bonitas» no es un conjunto. Cada persona decide qué es bonito, así que no se puede saber sin dudas si una película pertenece o no.
Los símbolos ∈ y ∉
Que el 4 pertenece al conjunto A = {2, 4, 6, 8} se escribe:
4 ∈ A — se lee «4 pertenece a A».
Que el 5 no pertenece se escribe:
5 ∉ A — se lee «5 no pertenece a A».
💡 El símbolo ∈ recuerda a la letra «e» de «elemento». Tachado, ∉ significa lo contrario, igual que ≠ con la igualdad.
Conjunto por extensión
Lo más sencillo es escribir todos los elementos. Se dice que el conjunto está dado por extensión:
A = {1, 2, 3, 6}
Al enumerar:
- El orden no importa. {1, 2, 3, 6} y {6, 3, 2, 1} son el mismo conjunto.
- Los elementos no se repiten. No escribimos {1, 2, 2, 3}, sino {1, 2, 3}.
Esta forma va bien cuando hay pocos elementos. Si hay muchos pero siguen un patrón, se usan puntos suspensivos: {1, 2, 3, …, 100}.
Conjunto por comprensión
La segunda forma es dar una regla que cumplen todos los elementos y nada más. Se dice que el conjunto está dado por comprensión:
A = {x ∈ ℕ / x es divisor de 6}
Se lee: «A es el conjunto de los x naturales tales que x es divisor de 6».
La notación tiene tres partes:
| Parte | Significado |
|---|---|
| x ∈ ℕ | de qué números elegimos (aquí los naturales 1, 2, 3, …) |
| / | «tales que» (en algunos libros se escribe | o :) |
| x es divisor de 6 | la condición que tiene que cumplir x |
Los elementos se encuentran probando los números uno a uno: 1 divide a 6 ✓, 2 ✓, 3 ✓, 4 ✗, 5 ✗, 6 ✓. Los mayores ya no dividen a 6. Así que A = {1, 2, 3, 6}.
Ejemplo resuelto 1
Escribe por extensión el conjunto B = {x ∈ ℤ / −2 ≤ x < 3}.
- Elegimos entre los enteros ℤ, así que también entran el cero y los negativos.
- Condición: x es mayor o igual que −2 y menor que 3.
- Con «≤» el extremo entra: el −2 está en el conjunto.
- Con «<» el extremo no entra: el 3 no está.
- B = {−2, −1, 0, 1, 2}.