Un niño pequeño que cuenta sus cochecitos tiene bastante con 1, 2, 3… Cuando en invierno miramos el termómetro, necesitamos también −5 °C. Al repartir una pizza entre tres sale 1/3. Y si medimos la diagonal de un cuadrado de 1 m de lado, sale √2 m: un número que no se puede escribir como fracción.
Los matemáticos fueron «añadiendo» números justo así, según los iban necesitando. De ahí salen cinco conjuntos numéricos que encajan unos dentro de otros, como cajas dentro de cajas.
Índice
- Números naturales ℕ
- Números enteros ℤ
- Números racionales ℚ
- Números irracionales I
- Números reales ℝ
- Cómo encajan
- Cómo decidir dónde va un número
- Errores frecuentes
- En resumen
- Pruébalo tú
- Soluciones
- Practica
Números naturales ℕ
ℕ = {1, 2, 3, 4, …} — los números con los que contamos cosas.⚠️ Algunos libros incluyen el 0 en ℕ y otros no. En este artículo ℕ empieza en 1. Para no dudar, en los ejercicios no preguntamos por el 0.
En ℕ siempre se puede sumar y multiplicar. Restar, no siempre: 3 − 5 = −2, y eso ya no es natural.
Números enteros ℤ
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — los naturales, el cero y los opuestos de los naturales.Los enteros sirven para temperaturas bajo cero, deudas o las plantas de un aparcamiento subterráneo. En ℤ se puede sumar, restar y multiplicar. Dividir, no siempre: 7 : 2 = 3,5 no es entero.
Números racionales ℚ
Un número es racional si se puede escribir como fracción a/b, con a entero y b natural.
Ejemplos: 1/2, −3/4, 5 (= 5/1), 0 (= 0/1), 0,75 (= 3/4), −2,5 (= −5/2).
También son racionales los decimales periódicos. Por ejemplo, 0,333… = 1/3, porque 1 : 3 = 0,333…
💡 Un racional se reconoce por su expresión decimal. O es exacta (0,75) o es periódica: alguna cifra o grupo de cifras se repite sin fin (0,1666… = 1/6).
Números irracionales I
Un número irracional no se puede escribir como fracción. Su expresión decimal es infinita y no periódica: las cifras nunca se repiten con un patrón.
Los más conocidos:
- √2 = 1,41421356… — la diagonal de un cuadrado de lado 1,
- π = 3,14159265… — cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia,
- √3, √5, √7… — la raíz de un número que no es cuadrado perfecto.
⚠️ No toda raíz es irracional. √9 = 3 es entero y √(1/4) = 1/2 es racional.
Números reales ℝ
Los reales son todos los racionales y todos los irracionales juntos. Son exactamente los números que se pueden dibujar en la recta numérica: cada punto de la recta es un número real.
Cómo encajan
- Todo natural es entero: ℕ ⊂ ℤ.
- Todo entero es racional (5 = 5/1): ℤ ⊂ ℚ.
- Todo racional es real: ℚ ⊂ ℝ.
- Los irracionales también son reales, pero no tienen nada en común con los racionales. Cada real es o racional o irracional, nunca las dos cosas.
Se escribe: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e I ⊂ ℝ.
Cómo decidir dónde va un número
Sigue siempre el mismo orden:
- Simplifica el número si se puede: √16 = 4, 12/4 = 3, (√3)² = 3.
- ¿Se puede escribir como fracción? Si no, es irracional: está en I y ℝ. Fin.
- Si sí, es racional: está en ℚ y ℝ.
- ¿Es entero? Si sí, también está en ℤ.
- ¿Es entero y positivo? Si sí, también está en ℕ.
Ejemplo resuelto 1
¿A qué conjuntos pertenece −12/4?
- Simplificamos: −12/4 = −3.
- −3 se puede escribir como fracción (−3/1): es racional → ℚ, ℝ.
- −3 es entero → ℤ.
- −3 no es positivo → no está en ℕ.
- −12/4 pertenece a ℤ, ℚ y ℝ.