En un curso, los alumnos estudian inglés, francés y alemán. Unos estudian un idioma, otros dos y algunos los tres. El profesor quiere saber cuántos no estudian ninguno. Con tres conjuntos es fácil liarse, pero un diagrama de Venn lo ordena todo para que no cuentes a nadie dos veces.
Tres círculos dividen el rectángulo U en ocho zonas:
Zona
Quién está
1
solo en A
2
solo en B
4
solo en C
3
en A y B, pero no en C
5
en A y C, pero no en B
6
en B y C, pero no en A
7
en los tres — A ∩ B ∩ C
8
fuera de todos los círculos
💡 ¿Por qué ocho? Cada elemento «decide» tres veces: ¿está en A o no? ¿En B? ¿En C? Eso da 2 · 2 · 2 = 8 posibilidades. Con dos conjuntos eran 2 · 2 = 4.
Colorear expresiones
Se hace igual que con dos conjuntos: recorre las ocho zonas y decide en cada una si pertenece al conjunto.
Ejemplo resuelto 1
Colorea el conjunto A − (B ∪ C).
La expresión significa: elementos de A que no están ni en B ni en C.
De las zonas del círculo A (1, 3, 5, 7) quitamos las que están también en B o en C (3, 5, 7).
Queda solo la zona 1.
Ejemplo resuelto 2
Colorea el conjunto (A ∩ B) ∪ C.
A ∩ B: zonas 3 y 7.
C: zonas 4, 5, 6 y 7.
Unión: zonas 3, 4, 5, 6 y 7.
La intersección de los tres, A ∩ B ∩ C, es solo la zona central 7:
Leer números en el diagrama
A veces cada zona lleva escrito cuántos elementos tiene. Entonces basta con sumar las zonas adecuadas.
En el diagrama de abajo, la zona «solo A» tiene un 9, el centro un 4, etc.
|A| = 9 + 5 + 3 + 4 = 21 (todas las zonas del círculo A),
|A ∩ B| = 5 + 4 = 9 (zonas 3 y 7),
exactamente en un conjunto: 9 + 6 + 7 = 22,
al menos en dos conjuntos: 5 + 3 + 2 + 4 = 14.
⚠️ «A ∩ B» incluye también el centro: los elementos que están en los tres también están en A y en B.
Problema: rellenar desde el centro
En un curso hay 40 alumnos. Estudian inglés 21, francés 17 y alemán 16. Inglés y francés 9, inglés y alemán 7, francés y alemán 6, y los tres idiomas 4. ¿Cuántos alumnos no estudian ninguno de estos idiomas?
Regla de oro: empieza por el centro y ve hacia fuera. El número «inglés y francés» incluye también a los que estudian los tres.
Centro: los tres idiomas — 4.
Parejas sin el centro:
- inglés y francés, pero no alemán: 9 − 4 = 5,
- inglés y alemán, pero no francés: 7 − 4 = 3,
- francés y alemán, pero no inglés: 6 − 4 = 2.
Un solo idioma:
- solo inglés: 21 − 5 − 3 − 4 = 9,
- solo francés: 17 − 5 − 2 − 4 = 6,
- solo alemán: 16 − 3 − 2 − 4 = 7.
Al menos un idioma: 4 + 5 + 3 + 2 + 9 + 6 + 7 = 36.
Ningún idioma: 40 − 36 = 4 alumnos.
El resultado es justo el diagrama de arriba. 💡 Comprobación: las ocho zonas suman 40 ✓.
Para quien quiera más: el cardinal de la unión de tres conjuntos también sale con la fórmula
21 + 17 + 16 − 9 − 7 − 6 + 4 = 36 ✓. El centro se cuenta tres veces en los tres primeros números, luego se resta tres veces, y por eso hay que volver a sumarlo una vez. Aun así, rellenar desde el centro es más seguro y más fácil de comprobar.
Errores frecuentes
Rellenar desde fuera: «solo inglés = 21» está mal; el 21 incluye a los que estudian otro idioma.
Olvidar el centro en las parejas: «inglés y francés = 9» incluye a los 4 que estudian los tres.
Restar el centro dos veces: para «solo A», resta las parejas sin el centro y el centro una vez.
No comprobar: la suma de las ocho zonas tiene que dar el total.
En resumen
Tres círculos forman 8 zonas (2 · 2 · 2).
Para colorear, recorre las ocho zonas.
Para contar, suma todas las zonas que pertenecen al conjunto, también el centro.
Problemas: centro → parejas (menos el centro) → «solo uno» → fuera. Al final, comprueba la suma.
Pruébalo tú
¿Qué zonas (1–8) forman el conjunto (A ∪ B) − C?
¿Qué zonas forman B ∩ Cᶜ?
Con el diagrama de números de arriba: ¿cuántos elementos tiene B ∪ C?
En un club hay 50 socios. Corren 25, van en bici 20 y nadan 18. Correr y bici 8, correr y natación 6, bici y natación 5, y los tres deportes 3. ¿Cuántos socios no practican ninguno? ¿Cuántos solo corren?
Soluciones
A ∪ B: zonas 1, 2, 3, 5, 6, 7. Sin C (quitamos 5, 6, 7): zonas 1, 2, 3.
B: zonas 2, 3, 6, 7. Sin C: zonas 2 y 3.
B ∪ C = todo lo que hay en los círculos B y C: 6 + 5 + 2 + 4 + 7 + 3 = 27.
Centro 3. Parejas sin el centro: 8 − 3 = 5, 6 − 3 = 3, 5 − 3 = 2. Solo correr: 25 − 5 − 3 − 3 = 14. Solo bici: 20 − 5 − 2 − 3 = 10. Solo natación: 18 − 3 − 2 − 3 = 10. Al menos un deporte: 3 + 5 + 3 + 2 + 14 + 10 + 10 = 47. Ninguno: 3 socios. Solo correr: 14 socios.
