Tú y una amiga comparáis vuestras listas de canciones. Algunas las tenéis las dos, otras solo tú y otras solo ella. Si queréis poner algo que os guste a las dos, buscáis la intersección. Si queréis una lista para una fiesta con todo, hacéis la unión. Y si quieres pasarle canciones que todavía no conoce, buscas la diferencia.
Con los conjuntos se calcula exactamente así. En todo el artículo usamos dos conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}
Índice
Intersección A ∩ B
La intersección de A y B son los elementos que están en A y también en B, en los dos a la vez.
A ∩ B — se lee «A intersección B».
Para nuestros conjuntos: A ∩ B = {4, 5}. Solo el 4 y el 5 están en los dos.
💡 Truco: ∩ = «y también».
Unión A ∪ B
La unión son los elementos que están al menos en uno de los conjuntos: en A, en B o en los dos.
A ∪ B — se lee «A unión B».
Para nuestros conjuntos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. El 4 y el 5 se escriben una sola vez.
💡 El símbolo ∪ parece una «U» de «unión», o un cuenco donde lo echamos todo. Truco: ∪ = «al menos en uno».
Ejemplo resuelto 1
Calcula A ∩ B y A ∪ B para A = {x ∈ ℕ / x es divisor de 12} y B = {x ∈ ℕ / x es divisor de 18}.
- Por extensión: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- Intersección, lo que está en los dos: A ∩ B = {1, 2, 3, 6}. Son los divisores comunes de 12 y 18.
- Unión, todo y cada número una vez: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}.
Diferencia A − B
La diferencia A − B son los elementos que están en A pero no en B. A A le «quitamos» todo lo que también está en B.
A − B — se lee «A menos B». También se escribe A ∖ B.
Para nuestros conjuntos: A − B = {1, 2, 3}.
⚠️ ¡El orden importa! B − A son los elementos de B que no están en A: B − A = {6, 7}. Es otro conjunto distinto.
Complementario Aᶜ
Para el complementario necesitamos el conjunto universal U (o referencial): el conjunto de todo aquello de lo que estamos hablando, por ejemplo todos los alumnos de la clase o los números del 1 al 10.
El complementario de A son los elementos de U que no están en A.
Aᶜ — se lee «complementario de A». También se escribe Ā o A′. Es lo mismo que U − A.
Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entonces Aᶜ = {6, 7, 8, 9, 10}.
💡 Sin U, el complementario no tiene sentido. El complementario de tu clase dentro del instituto son los demás alumnos del instituto; dentro de la ciudad, todos los demás habitantes.
Expresiones compuestas
Las operaciones se pueden combinar. Primero se calcula lo que está entre paréntesis, como con los números.
Ejemplo resuelto 2
U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}. Calcula (A ∪ B)ᶜ.
- Paréntesis: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Complementario en U, lo que falta de U: (A ∪ B)ᶜ = {8, 9, 10}.
Ejemplo resuelto 3
Con los mismos conjuntos, calcula A ∩ Bᶜ.
- Bᶜ son los elementos de U que no están en B: Bᶜ = {1, 2, 3, 8, 9, 10}.
- A ∩ Bᶜ son los que están en A y también en Bᶜ: {1, 2, 3}.
- Fíjate: sale lo mismo que A − B. Se cumple A − B = A ∩ Bᶜ.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su intersección es vacía: A ∩ B = ∅. Se llaman disjuntos.
Ejemplo: los pares y los impares, o los racionales y los irracionales.
Conjuntos y probabilidad
Estas operaciones vuelven a aparecer en probabilidad. Al tirar un dado, el suceso «sale par» es el conjunto {2, 4, 6} dentro del espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que hace de conjunto universal:
- «A o B» es la unión A ∪ B,
- «A y B» es la intersección A ∩ B,
- el suceso contrario de A es el complementario Aᶜ,
- dos sucesos incompatibles son conjuntos disjuntos.
Resumen en una tabla
| Operación | Notación | Con palabras | Para A = {1,…,5}, B = {4,…,7} |
|---|
| intersección | A ∩ B | en A y también en B | {4, 5} |
| unión | A ∪ B | al menos en uno | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} |
| diferencia | A − B | en A pero no en B | {1, 2, 3} |
| diferencia | B − A | en B pero no en A | {6, 7} |
| complementario | Aᶜ | en U pero no en A | {6, 7, 8, 9, 10} con U = {1,…,10} |
Errores frecuentes
- Confundir ∩ y ∪: ∩ es «y también» (un conjunto más pequeño), ∪ es «al menos en uno» (más grande).
- Repetir elementos en la unión: los comunes se escriben una sola vez.
- A − B = B − A: ¡falso! La diferencia no es conmutativa.
- Complementario sin U: averigua siempre cuál es el conjunto universal.
- Intersección vacía escrita como {0}: si no hay nada en común, el resultado es ∅.
En resumen
- A ∩ B: elementos de A que también están en B.
- A ∪ B: elementos que están al menos en uno, cada uno una vez.
- A − B: elementos de A que no están en B. A − B ≠ B − A.
- Aᶜ: elementos de U que no están en A.
- Primero los paréntesis. A − B = A ∩ Bᶜ.
Pruébalo tú
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 5, 6}.
- A ∩ B
- A ∪ B
- A − B
- B − A
- Aᶜ
- (A ∩ B)ᶜ
- Aᶜ ∩ Bᶜ
Soluciones
- A ∩ B = {3, 5}
- A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
- A − B = {1, 7}
- B − A = {4, 6}
- Aᶜ = {2, 4, 6, 8}
- (A ∩ B)ᶜ = {1, 2, 4, 6, 7, 8}
- Aᶜ = {2, 4, 6, 8} y Bᶜ = {1, 2, 7, 8}, así que Aᶜ ∩ Bᶜ = {2, 8}. Es lo mismo que (A ∪ B)ᶜ: los números que no están ni en A ni en B.
Practica
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