Diagramas de Venn con dos conjuntos

Diagramas de Venn con dos conjuntos

En una clase hay 28 alumnos. Van a fútbol 15, a natación 12 y a las dos actividades 5. ¿Cuántos no van a ninguna?

Si sumas 15 + 12, salen 27, y parece que solo un alumno no va a nada. ¡Pero está mal! Los 5 que van a las dos actividades los hemos contado dos veces. Aquí ayuda un dibujo que inventó en el siglo XIX el matemático inglés John Venn.

Índice

Cómo es un diagrama de Venn

  • Un rectángulo representa el conjunto universal U: todo aquello de lo que hablamos (por ejemplo, todos los alumnos de la clase).
  • Cada conjunto es un círculo dentro del rectángulo.
  • Los círculos se solapan. En la parte común están los elementos que pertenecen a los dos conjuntos.

Las cuatro zonas del diagrama

Dos círculos dividen el rectángulo en cuatro zonas:

Diagrama de Venn de dos conjuntos con las zonas numeradas del 1 al 4
ZonaQuién estáNotación
1solo en AA − B
2en A y en BA ∩ B
3solo en BB − A
4ni en A ni en B(A ∪ B)ᶜ

Cada elemento del conjunto universal está en exactamente una de estas cuatro zonas. Ese es todo el secreto de los diagramas de Venn.

Operaciones en el diagrama

Cada operación se puede mostrar coloreando algunas zonas:

ConjuntoZonas coloreadas
A1, 2
A ∩ B2
A ∪ B1, 2, 3
A − B1
Aᶜ3, 4
(A ∪ B)ᶜ4
(A ∩ B)ᶜ1, 3, 4

Cómo colorear una expresión compuesta

Con una expresión compuesta no intentes adivinar la forma. Recorre las cuatro zonas y pregúntate en cada una si pertenece al conjunto.

Ejemplo resuelto 1

Colorea el conjunto Aᶜ ∩ B.

  1. Aᶜ ∩ B son los elementos que no están en A y sí están en B.
  2. Zona 1 (solo A): está en A → no.
  3. Zona 2 (A y B): está en A → no.
  4. Zona 3 (solo B): no está en A y está en B → sí.
  5. Zona 4 (fuera): no está en B → no.
  6. Coloreamos solo la zona 3. Aᶜ ∩ B es lo mismo que B − A.

Número de elementos de la unión

El número de elementos (cardinal) de A se escribe |A|. Para dos conjuntos:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

¿Por qué se resta? Los elementos de la intersección están contados en |A| y también en |B|, es decir, dos veces. Por eso se restan una vez.

Problemas paso a paso

Volvamos al problema del principio: 28 alumnos, fútbol 15, natación 12, las dos 5.

Método: rellena el diagrama desde el centro.
  1. Centro (las dos): 5 alumnos.
  2. Solo fútbol: 15 − 5 = 10. (De los 15 futbolistas, 5 también nadan.)
  3. Solo natación: 12 − 5 = 7.
  4. Al menos una actividad: 10 + 5 + 7 = 22. Con la fórmula: 15 + 12 − 5 = 22.
  5. Ninguna actividad: 28 − 22 = 6 alumnos.
Diagrama de Venn con número de alumnos: solo fútbol 10, las dos 5, solo natación 7, fuera 6

💡 Comprobación: los cuatro números del diagrama tienen que sumar el total de alumnos. 10 + 5 + 7 + 6 = 28 ✓.

Ejemplo resuelto 2

En una encuesta han respondido 40 familias. Tienen perro 18, gato 14, y 15 no tienen ni perro ni gato. ¿Cuántas familias tienen perro y gato?

  1. Al menos una mascota: 40 − 15 = 25 familias. Eso es |A ∪ B|.
  2. Con la fórmula: 25 = 18 + 14 − |A ∩ B|.
  3. |A ∩ B| = 18 + 14 − 25 = 7 familias.
  4. Comprobación: solo perro 18 − 7 = 11, solo gato 14 − 7 = 7, las dos 7, ninguna 15. Total 11 + 7 + 7 + 15 = 40 ✓.

💡 En probabilidad pasa lo mismo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Errores frecuentes

  • Sumar sin restar la intersección: 15 + 12 no es el número de alumnos que van a alguna actividad; la intersección está dos veces.
  • Leer «15 van a fútbol» como «solo fútbol»: el 15 incluye también a los que van a natación.
  • Olvidar la zona de fuera: no todos los elementos de U tienen que estar en algún conjunto.
  • Rellenar desde fuera: empieza siempre por la intersección, luego «solo A» y «solo B».

En resumen

  • Rectángulo = conjunto universal U; círculos = conjuntos.
  • Dos círculos forman 4 zonas: solo A, A y B, solo B, fuera.
  • Para colorear, recorre cada zona y decide si pertenece al conjunto.
  • |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  • Problemas: rellena desde el centro y al final comprueba la suma.

Pruébalo tú

  1. ¿Qué zonas (1–4) colorearías para el conjunto A ∪ Bᶜ?
  2. |A| = 20, |B| = 13, |A ∩ B| = 6. ¿Cuánto vale |A ∪ B|?
  3. En una clase hay 30 alumnos. Estudian inglés 24, francés 11 y los dos idiomas 8. ¿Cuántos no estudian ninguno de los dos?
  4. En una excursión había 35 alumnos. Compraron helado 20, limonada 18 y 5 no compraron nada. ¿Cuántos compraron helado y limonada?

Soluciones

  1. Las zonas 1 y 2 (están en A) y la zona 4 (no está en B). En total 1, 2 y 4: todo menos «solo B».
  2. |A ∪ B| = 20 + 13 − 6 = 27.
  3. Al menos un idioma: 24 + 11 − 8 = 27. Ninguno: 30 − 27 = 3 alumnos.
  4. Al menos una cosa: 35 − 5 = 30. Las dos: 20 + 18 − 30 = 8 alumnos.

Practica

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