Exponentialgleichungen
Löse die Gleichung in ℝ.
Richtige Aufgaben
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In einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten, zum Beispiel 2ˣ = 32. Am einfachsten schreibst du beide Seiten als Potenz mit derselben Basis: 32 = 2⁵. Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich, sind auch die Exponenten gleich, also x = 5.
Was macht dieser Generator?
Auf der leichten Stufe hat die Gleichung auf beiden Seiten dieselbe Basis, zum Beispiel 3^(x − 1) = 27. Auf der mittleren Stufe musst du beide Seiten als Potenz derselben Zahl schreiben, zum Beispiel 4ˣ = 8 oder 9^(x + 1) = 27ˣ, und die Lösung kann ein Bruch sein. Auf der schweren Stufe löst du Gleichungen mit der Substitution t = 2ˣ oder durch Ausklammern einer Potenz.
So funktioniert es
1) Finde heraus, Potenz welcher Zahl beide Seiten sind: 4 = 2², 8 = 2³, ¼ = 2⁻². 2) Schreibe die Gleichung in der Form 2^(…) = 2^(…). 3) Vergleiche die Exponenten und löse die lineare Gleichung. 4) Bei der Form 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 setze t = 2ˣ, löse die quadratische Gleichung und kehre zu x zurück. Ein negatives t fällt weg — eine Potenz ist immer positiv.