Dreisatz und direkte Proportionalität

Dreisatz und direkte Proportionalität

Dreisatz — wenn drei Werte den vierten geben

In der Schule begegnest du dieser Aufgabe oft: „Ein Rezept für 4 Personen braucht 200 g Mehl. Wie viel Mehl für 10 Personen?" Wächst die Anzahl der Personen, wächst auch die Mehlmenge im gleichen Verhältnis. Das nennen wir direkte Proportionalität.

Der Dreisatz ist die Methode, mit der du aus drei bekannten Werten den vierten berechnest.

Die Grundidee

Sind zwei Größen direkt proportional, dann bleibt ihr Verhältnis gleich:

`4 Personen ↔ 200 g` ist dasselbe Verhältnis wie `10 Personen ↔ ? g`.

Daraus folgt:

`4 / 200 = 10 / ?` bzw. `? = (200 · 10) / 4`.

Schritt für Schritt

  1. Schreibe alle vier Stellen als Verhältnis auf: die drei bekannten Werte und das Fragezeichen.
  2. Über Kreuz multiplizieren: Oben auf der gesuchten Seite mal unten auf der bekannten Seite.
  3. Teile durch die andere obere Zahl.

Für unser Beispiel: `? = 200 · 10 ÷ 4 = 2000 ÷ 4 = 500 g`.

Eine übersichtliche Darstellung:

   Personen    Mehl
   4    ──►    200
   10   ──►     ?

Der gesuchte Wert ist immer `? = (10 · 200) ÷ 4`.

Beispiel 1 — Rezept

Ein Rezept für 6 Personen braucht 150 g Butter. Wie viel Butter für 9 Personen?

  • Verhältnis: `6 / 150 = 9 / ?`
  • Ergebnis: `? = 150 · 9 ÷ 6 = 1350 ÷ 6 = 225 g`

Beispiel 2 — Meter für Geld

5 Meter Band kosten 2 €. Wie viel für 12 Meter?

  • Verhältnis: `5 / 2 = 12 / ?`
  • Ergebnis: `? = 2 · 12 ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4,80 €`

Beispiel 3 — Geschwindigkeit

Ein Radfahrer legt in 3 Stunden 45 km zurück. Wie weit kommt er in 5 Stunden bei gleicher Geschwindigkeit?

  • Verhältnis: `3 / 45 = 5 / ?`
  • Ergebnis: `? = 45 · 5 ÷ 3 = 225 ÷ 3 = 75 km`

Wann ist es **direkte** Proportionalität?

Direkte Proportionalität heißt: wächst eine Größe, wächst die andere im selben Verhältnis. Zum Beispiel:

  • Mehr Personen → mehr Essen (Rezept).
  • Mehr Meter → mehr Geld (Band).
  • Mehr Zeit → mehr Strecke (bei konstanter Geschwindigkeit).
Umgekehrte Proportionalität (eine wächst, die andere fällt) kommt in Klasse 7.

Plausibilitätsprüfung

Frag dich immer: passt das Ergebnis?

  • Doppelt so viele Personen → doppelt so viel Mehl.
  • Dreimal so viele Meter → dreimal so viel Geld.

Kommt weniger Mehl bei mehr Personen heraus, stimmt etwas nicht.

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