Äquivalente Verhältnisse und Kürzen
Die Verhältnisse 2 : 3 und 4 : 6 sind eigentlich dasselbe. Auch 20 : 30 ist gleich. Wir nennen sie äquivalente Verhältnisse — nur unterschiedliche Schreibweisen derselben Beziehung zwischen zwei Größen.
Wann sind zwei Verhältnisse äquivalent
Zwei Verhältnisse `a : b` und `c : d` sind genau dann äquivalent, wenn
a · d = b · c (über Kreuz multiplizieren).
Beispiel: `2 : 3` und `4 : 6` → `2 · 6 = 12`, `3 · 4 = 12` ✓. Äquivalent.
Gegenbeispiel: `2 : 3` und `4 : 7` → `2 · 7 = 14`, `3 · 4 = 12` ✗. Nicht äquivalent.
Kürzen — die einfachste Form
Kürzen heißt, beide Teile durch dieselbe Zahl zu teilen. Das Verhältnis ändert sich nicht, nur die Schreibweise wird kürzer. Beispiel. Kürze `12 : 18`.- Finde den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von 12 und 18 → 6.
- Teile beide Glieder durch 6: `12 ÷ 6 = 2`, `18 ÷ 6 = 3`.
- Einfachste Form: 2 : 3.
Schritt für Schritt
- Finde einen gemeinsamen Teiler beider Glieder.
- Teile beide durch dieselbe Zahl.
- Wiederhole, bis du nicht mehr kürzen kannst.
Beispiel: Geld teilen
Tom und Mia teilen sich 30 € im Verhältnis 18 : 12. Wie lautet das gekürzte Verhältnis?
- ggT(18, 12) = 6.
- `18 ÷ 6 : 12 ÷ 6 = 3 : 2`.
Häufige Fallen
- Verhältnis 4 : 6 und Bruch 4/6 werden anders geschrieben, aber gleich gekürzt.
- Manchmal reicht ein Schritt nicht. `12 : 18 → 6 : 9` ist noch nicht die einfachste Form (ggT(6, 9) = 3 → 2 : 3).
- Verhältnis mit Einheiten: zuerst auf dieselbe Einheit bringen. „30 cm : 1 m" = „30 cm : 100 cm" = 30 : 100 = 3 : 10.