Proportional vs antiproportional
In Klasse 6 haben wir die proportionale Zuordnung kennengelernt — wenn eine Größe wächst, wächst die andere im gleichen Verhältnis. In Klasse 7 kommt ein Zwilling dazu: die antiproportionale Zuordnung. Wenn eine Größe wächst, wird die andere kleiner, sodass ihr Produkt gleich bleibt.
Proportionale Zuordnung — eine Wiederholung
Ein Rezept für 4 Personen braucht 200 g Mehl. Für 8 Personen (das Doppelte) brauchst du 400 g Mehl (auch das Doppelte). Das Verhältnis Personen : Mehl bleibt gleich.
Wenn eine Größe N-mal größer wird, wird die andere ebenfalls N-mal größer.
Dreisatz für eine proportionale Zuordnung:
| Personen | Mehl |
| 4 | 200 g |
| 10 | ? |
Vorgehen: berechne die Menge für 1 Person → `200 ÷ 4 = 50 g`. Dann multipliziere → `50 × 10 = 500 g`.
Antiproportionale Zuordnung — eine neue Sicht
Wenn 6 Arbeiter ein Loch in 4 Stunden graben können, wie viele Stunden brauchen dann 8 Arbeiter?
Hier kannst du nicht sagen „mehr Arbeiter, mehr Stunden". Im Gegenteil — je mehr Hände helfen, desto kürzer ist die Zeit. Das ist eine antiproportionale Zuordnung.
Wenn eine Größe N-mal größer wird, wird die andere N-mal kleiner. Das Produkt beider Größen bleibt gleich.
Dreisatz für eine antiproportionale Zuordnung — anders zu rechnen:
| Arbeiter | Stunden |
| 6 | 4 |
| 8 | ? |
Vorgehen: multipliziere die obere Zeile → `6 × 4 = 24`. Das ist das konstante Produkt (24 Arbeiter-Stunden Gesamtarbeit). Dann teile durch die bekannte Zahl der unteren Zeile → `24 ÷ 8 = 3 Stunden`.
Wie erkennt man, welche Zuordnung es ist?
Frage dich: „Wenn ich mehr nehme, bekomme ich mehr oder weniger?"
- Mehr → mehr: proportionale Zuordnung (Rezept, Maßstab, Preis pro Stück).
- Mehr → weniger: antiproportionale Zuordnung (Arbeiter und Zeit, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Aufteilen in gleiche Anteile).
Formeln im Überblick
| Art | Beziehung | Dreisatz |
| proportionale Zuordnung | `a/b = c/x` | `x = (b · c) / a` |
| antiproportionale Zuordnung | `a · b = c · x` | `x = (a · b) / c` |
Achtung — bei der antiproportionalen Zuordnung wird immer zuerst multipliziert (obere Zeile → konstantes Produkt) und dann dividiert. Bei der proportionalen Zuordnung ist die Reihenfolge umgekehrt — zuerst dividieren (Wert pro Einheit), dann multiplizieren.