Textaufgaben zum Satz des Pythagoras

Textaufgaben zeigen dir, wie der Satz des Pythagoras im echten Leben verwendet wird. Die folgenden Beispiele sind typisch und erscheinen häufig in Klassenarbeiten.

> 💡 Vorgehen bei jeder Textaufgabe:

> 1. Lies die Aufgabenstellung aufmerksam durch.

> 2. Fertige eine Skizze an – ein rechtwinkliges Dreieck mit beschrifteten Seiten.

> 3. Bestimme, was die Hypotenuse und was die Katheten sind.

> 4. Setze in die Formel ein und berechne.

> 5. Vergiss nicht, die Antwort auch in Worten mit Einheiten aufzuschreiben.

An die Wand gelehnte Leiter

Aufgabe: Eine $5$ m lange Leiter ist so an eine Wand gelehnt, dass ihr Fuß $3$ m von der Wand entfernt ist. Bis zu welcher Höhe $h$ reicht die Leiter an der Wand?

Die Leiter bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, der Abstand des Fußes von der Wand und die Höhe an der Wand bilden die Katheten.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Antwort: Die Leiter reicht bis zu einer Höhe von $4$ m.

Diagonale eines Rechtecks

Aufgabe: Ein Rechteck hat die Maße $a = 6$ cm und $b = 8$ cm. Berechne die Länge seiner Diagonale $u$ .

Die Diagonale eines Rechtecks teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten des Rechtecks sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Antwort: Die Diagonale des Rechtecks hat die Länge $10$ cm.

Diagonale eines Quadrats

Aufgabe: Ein Quadrat hat die Seite $a = 5$ cm. Wie lang ist seine Diagonale?

Im Quadrat sind beide Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gleich lang:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Antwort: Die Diagonale des Quadrats hat eine Länge von etwa $7, 07$ cm.

> 💡 Formel für die Diagonale eines Quadrats: $u = a 2$

Abstand zweier Punkte

Aufgabe: Die Stadt $A$ liegt $30$ km nördlich und $40$ km östlich von der Stadt $B$ . Wie groß ist die Luftlinienentfernung zwischen den Städten?

Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: eine Kathete $30$ km (Norden), die andere $40$ km (Osten), die Hypotenuse ist die Luftlinienentfernung.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Antwort: Die Luftlinienentfernung beträgt $50$ km.

> 👉 Ausführlichere Erklärung: Abstand zweier Punkte in der Ebene

Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Grundseite $z = 12$ cm und die Schenkel $r = 10$ cm. Berechne seine Höhe $v$ .

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks schneidet die Grundseite in ihrer Mitte. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Schenkel die Hypotenuse ist, die Hälfte der Grundseite eine Kathete und die Höhe die andere Kathete.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Antwort: Die Höhe des Dreiecks beträgt $8$ cm.

Kürzester Weg

Aufgabe: Ein Park hat die Form eines Rechtecks mit den Maßen $80$ m und $60$ m. Ein Weg führt am Parkrand entlang, man kann den Park aber auch diagonal durchqueren. Um wie viele Meter ist der diagonale Weg kürzer als der Weg über zwei benachbarte Seiten?

Schritt 1: Diagonale des Parks.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Schritt 2: Weg über zwei benachbarte Seiten.

80 + 60 = 140 m

Schritt 3: Differenz.

140 - 100 = 40 m

Antwort: Der diagonale Weg ist um $40$ m kürzer.

Textaufgaben zum Satz des Pythagoras – gelöste Beispiele