Abstand zweier Punkte in der Ebene

Der Satz des Pythagoras lässt sich auch im Koordinatensystem anwenden – er hilft uns, den Abstand zweier Punkte zu berechnen, wenn wir ihre Koordinaten kennen.

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Inhaltsverzeichnis

• Herleitung der Formel
• Formel für den Abstand
• Gelöste Beispiele
• Praktische Anwendung

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Herleitung der Formel

Gegeben seien zwei Punkte $A=[x_1,y_1]$ und $B=[x_2,y_2]$ im Koordinatensystem. Die Verbindungsstrecke $AB$ bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

• Die waagerechte Kathete hat die Länge $|x_2-x_1|$.
• Die senkrechte Kathete hat die Länge $|y_2-y_1|$.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

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Formel für den Abstand

> 💡 Beim Quadrieren einer Differenz kommt es nicht auf die Reihenfolge an – $(x_2-x_1{)}^2=(x_1-x_2{)}^2$. Auch negative Differenzen ergeben nach dem Quadrieren eine positive Zahl.

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Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Berechne den Abstand der Punkte $A=[1,2]$ und $B=[4,6]$.

Antwort: $|AB|=5$.

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Beispiel 2: Berechne den Abstand der Punkte $C=[-2,1]$ und $D=[3,13]$.

Antwort: $|CD|=13$.

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Beispiel 3: Berechne den Abstand der Punkte $P=[0,0]$ und $Q=[6,8]$.

Antwort: $|PQ|=10$.

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Praktische Anwendung

Die Formel für den Abstand zweier Punkte wird überall dort verwendet, wo wir mit Koordinaten arbeiten:

• 🗺️ Karten und Navigation – Luftlinienentfernung zweier Orte auf einer Karte mit Gitter.
• 🎮 Computerspiele – Berechnung, wie weit der Spieler vom Ziel entfernt ist.
• 📐 Geometrie – Überprüfung, ob die Seiten einer Figur gleich lang sind (zum Beispiel ob ein Dreieck gleichschenklig ist).
• 📡 Physik – Strecke, die ein Körper in einer zweidimensionalen Bewegung zurückgelegt hat.

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