Satz des Pythagoras im Raum
Der Satz des Pythagoras funktioniert auch im dreidimensionalen Raum. Am häufigsten verwenden wir ihn zur Berechnung der Raumdiagonale eines Quaders oder Würfels – also der Strecke, die zwei gegenüberliegende Ecken des Körpers verbindet.
Inhaltsverzeichnis
Raumdiagonale eines Quaders
Stell dir einen Quader mit den Maßen , , vor. Die Raumdiagonale ist die Strecke, die zwei gegenüberliegende Ecken verbindet – die längste Strecke, die in den Quader hineinpasst.
Die Berechnung erfolgt in zwei Schritten:
- Zuerst berechnen wir die Flächendiagonale der Grundfläche des Quaders (ein Rechteck mit den Seiten , ):
- Dann wenden wir den Satz des Pythagoras ein zweites Mal an in dem rechtwinkligen Dreieck, das aus der Flächendiagonale, der Raumdiagonale und der Höhe des Quaders gebildet wird:
- Satz des Pythagoras – komplette Anleitung
- Formel des Satzes des Pythagoras
- Abstand zweier Punkte
- Textaufgaben
Formel für den Quader
> 💡 Es genügt, alle drei Maße zu quadrieren, zu addieren und zu radizieren. Das ist im Grunde ein „erweiterter" Satz des Pythagoras.
Formel für den Würfel
Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders, bei dem . Die Formel vereinfacht sich daher zu:
Gelöste Beispiele
Beispiel 1: Ein Quader hat die Maße cm, cm, cm. Berechne seine Raumdiagonale.
Antwort: Die Raumdiagonale des Quaders beträgt cm.
Beispiel 2: Ein Quader hat die Maße cm, cm, cm.
Beispiel 3: Ein Würfel hat die Kantenlänge cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale?
Antwort: Die Raumdiagonale des Würfels beträgt etwa cm.
Beispiel 4 (aus dem Alltag): Passt ein Holzstab der Länge m in eine Kiste mit den Maßen m?
Es genügt, die Länge des Stabes mit der Raumdiagonale der Kiste zu vergleichen:
Der m lange Stab passt in die Kiste, denn ihre längste Diagonale beträgt etwa m.