Formel des Satzes des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras lässt sich durch eine einzige Gleichung ausdrücken, aus der jedoch mehrere praktische Formen folgen, die sich in verschiedenen Situationen als nützlich erweisen. In diesem Artikel gehen wir sie alle durch.

Inhaltsverzeichnis

Grundformel
Formel für die Hypotenuse
Formel für eine Kathete
Warum das Quadrat
Zusammenfassung der Formeln

Grundformel

Bezeichnen wir in einem rechtwinkligen Dreieck:

$a$ , $b$ – Katheten (die Seiten, die den rechten Winkel einschließen)
$c$ – Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel)

Dann gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

In Worten: Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Formel für die Hypotenuse

Wenn du beide Katheten kennst und die Hypotenuse suchst, drückst du $c$ aus der Gleichung aus, indem du beide Seiten radizierst:

c = a^{2} + b^{2}

> 📌 Merke: Bei der Berechnung der Hypotenuse werden $a^{2}$ und $b^{2}$ immer addiert.

Beispiel: $a = 6$ , $b = 8$

c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10

Formel für eine Kathete

Wenn du die Hypotenuse und eine Kathete kennst, berechnest du die andere durch Subtraktion:

a = c^{2} - b^{2}

b = c^{2} - a^{2}

> 📌 Merke: Bei der Berechnung einer Kathete wird von $c^{2}$ immer das Quadrat der bekannten Kathete subtrahiert.

Beispiel: $c = 17$ , $b = 8$

a = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15

> ⚠️ Der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv sein. Kommt eine negative Zahl heraus, hast du etwas verwechselt – wahrscheinlich Hypotenuse und Kathete.

Warum das Quadrat

Das Quadrat in der Formel ist kein Zufall – es stammt vom Flächeninhalt eines Quadrats. Ursprünglich wurde der Satz des Pythagoras geometrisch bewiesen: Über jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird ein Quadrat errichtet, und der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist genau so groß wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten.

Fl \overset{a}{¨} cheninhalt des kleinen Quadrats a^{2} + Fl \overset{a}{¨} cheninhalt des kleinen Quadrats b^{2} = Fl \overset{a}{¨} cheninhalt des großen Quadrats c^{2}

> 👉 Klassischer geometrischer Beweis: Beweis des Satzes des Pythagoras und Geschichte

Zusammenfassung der Formeln

Gesucht	Formel
Hypotenuse $c$	$c = a^{2} + b^{2}$
Kathete $a$	$a = c^{2} - b^{2}$
Kathete $b$	$b = c^{2} - a^{2}$
Überprüfung der Rechtwinkligkeit	$a^{2} + b^{2} = ? c^{2}$

Formel des Satzes des Pythagoras – alle Formen und Herleitung