Beweis des Satzes des Pythagoras und kurze Geschichte

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur eine Formel zum Auswendiglernen – hinter ihm steht ein schöner geometrischer Beweis, den du dir auch selbst anhand einer Zeichnung veranschaulichen kannst.

Inhaltsverzeichnis

Kurze Geschichte
Geometrischer Beweis
Algebraischer Beweis
Wissenswertes

Kurze Geschichte

Der Satz war schon vor mehr als $4000$ Jahren bekannt – babylonische Tontafeln enthalten Listen pythagoreischer Tripel. Auch die alten Ägypter verwendeten das Tripel $(3, 4, 5)$ , um beim Bau der Pyramiden rechte Winkel abzustecken.

Seinen Namen erhielt der Satz nach Pythagoras von Samos (etwa $570-495$ v. Chr.), einem griechischen Mathematiker und Philosophen. Pythagoras war vermutlich nicht der Erste, der den Satz kannte, aber seine Schule hat ihn als Erste allgemein für jedes rechtwinklige Dreieck bewiesen.

Der bekannteste geometrische Beweis stammt aus dem Buch Elemente von Euklid (etwa $300$ v. Chr.). Heute gibt es mehr als $400$ verschiedene Beweise dieses Satzes – einer davon soll sogar vom amerikanischen Präsidenten James Garfield stammen.

Geometrischer Beweis

Der einfachste Beweis verwendet zwei große Quadrate mit derselben Seitenlänge $a + b$ , die wir unterschiedlich zerlegen.

Erste Zerlegung

Das große Quadrat zerlegen wir in:

ein Quadrat mit der Seite $a$ → Flächeninhalt $a^{2}$
ein Quadrat mit der Seite $b$ → Flächeninhalt $b^{2}$
zwei gleich große Rechtecke $a \times b$ → zusammen $2 ab$
(jedes Rechteck können wir durch die Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ , $b$ zerlegen)

Der Gesamtflächeninhalt beträgt:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Zweite Zerlegung

Dasselbe Quadrat können wir anders zerlegen: Wir setzen vier gleich große rechtwinklige Dreiecke (mit den Katheten $a$ und $b$ ) so hinein, dass im Inneren mithilfe der Hypotenusen $c$ ein neues Quadrat entsteht.

vier Dreiecke → zusammen Flächeninhalt $4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2 ab$
inneres Quadrat mit der Seite $c$ → Flächeninhalt $c^{2}$

Der Gesamtflächeninhalt beträgt:

(a + b)^{2} = 2 ab + c^{2}

Schlussfolgerung

Beide Zerlegungen beschreiben dasselbe große Quadrat, ihre Flächeninhalte müssen also gleich sein:

a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}

Nach Subtraktion von $2 ab$ auf beiden Seiten erhalten wir:

a^{2} + b^{2} = c^{2} ■

Und das ist genau der Satz des Pythagoras.

Algebraischer Beweis

Algebraisch lässt sich der Satz auch über ähnliche Dreiecke herleiten. In einem rechtwinkligen Dreieck fällen wir vom Scheitel des rechten Winkels die Höhe auf die Hypotenuse. Es entstehen zwei kleinere Dreiecke, die zum ursprünglichen ähnlich sind. Aus den Seitenverhältnissen folgt dann:

a^{2} = c \cdot c_{a}

b^{2} = c \cdot c_{b}

(wobei $c_{a}$ und $c_{b}$ die Abschnitte der Hypotenuse am Fußpunkt der Höhe sind.) Ihre Summe:

a^{2} + b^{2} = c \cdot (c_{a} + c_{b}) = c \cdot c = c^{2}

Wissenswertes

🏛️ Die älteste Aufzeichnung des Satzes befindet sich auf der babylonischen Tafel Plimpton 322, etwa $1800$ v. Chr. Sie enthält fünfzehn pythagoreische Tripel.
🔢 Es gibt mehr als 400 verschiedene Beweise – von rein geometrischen über algebraische bis hin zu Beweisen mit fließendem Wasser oder Origami.
📐 Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des allgemeineren Kosinussatzes, der für jedes Dreieck gilt: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . Im rechtwinkligen Dreieck ist $γ = 90°$ , also $cos γ = 0$ , und die Formel vereinfacht sich zu unserem Satz des Pythagoras.
🌌 In nichteuklidischen Geometrien (z. B. auf einer Kugel) gilt der Satz des Pythagoras nicht – er ist also eine Eigenschaft der ebenen (euklidischen) Geometrie.

Übe

🔢 Berechnung der Hypotenuse
🎯 Gemischte Aufgaben

Beweis des Satzes des Pythagoras und Geschichte