Pythagoreische Tripel

Ein pythagoreisches Tripel ist ein Tripel natürlicher Zahlen $(a, b, c)$ , für das gilt

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Mit anderen Worten handelt es sich um die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, die ganze Zahlen sind. Pythagoreische Tripel sind in Schulbüchern beliebt, weil sich mit ihnen „schöne" Ergebnisse ohne Dezimalstellen ergeben.

Das bekannteste Tripel (3, 4, 5)

Das Tripel $(3, 4, 5)$ ist das allerbekannteste. Überprüfen wir es:

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} ✓

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $3$ und $4$ hat also eine Hypotenuse von genau $5$ . Dieses Tripel kannten schon die alten Ägypter – sie verwendeten es, um beim Bau der Pyramiden rechte Winkel abzustecken.

Primitive pythagoreische Tripel

Ein primitives pythagoreisches Tripel ist eines, bei dem die Zahlen $a$ , $b$ , $c$ keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ haben – mit anderen Worten: Sie lassen sich nicht alle drei durch dieselbe Zahl teilen.

Beispiele für primitive Tripel:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$
$(20, 21, 29)$
$(9, 40, 41)$

Vielfache von Tripeln

Aus jedem pythagoreischen Tripel können wir weitere erzeugen, indem wir alle drei Zahlen mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren. Das entstehende Tripel ist ebenfalls pythagoreisch.

Beispiel: Multiplizieren wir das Tripel $(3, 4, 5)$ mit $2$ :

(6, 8, 10)

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} ✓

Und mit $3$ :

(9, 12, 15)

9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2} ✓

So erhalten wir aus einem einzigen primitiven Tripel $(3, 4, 5)$ unendlich viele weitere: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(12, 16, 20)$ , $(15, 20, 25)$ und so weiter.

Liste der meistverwendeten Tripel

Diese Tripel solltest du „im Kopf" haben – sie beschleunigen das Lösen von Aufgaben:

$a$	$b$	$c$
----:	----:	----:
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15
9	40	41
11	60	61
12	16	20
20	21	29

Wie man ein neues Tripel erzeugt

Es gibt eine elegante Formel, mit der sich primitive pythagoreische Tripel erzeugen lassen. Für beliebige natürliche Zahlen $m > n > 0$ gilt:

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2}

Beispiel: Für $m = 2$ , $n = 1$ :

$a = 4 - 1 = 3$
$b = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$
$c = 4 + 1 = 5$

Wir erhalten das Tripel $(3, 4, 5)$ .

Für $m = 3$ , $n = 2$ :

$a = 9 - 4 = 5$
$b = 12$
$c = 9 + 4 = 13$

Wir erhalten das Tripel $(5, 12, 13)$ .

Übe

✏️ Überprüfung der Rechtwinkligkeit
🎯 Gemischte Aufgaben

Pythagoreische Tripel – (3,4,5) und weitere