Ein kleines Kind zählt seine Spielzeugautos: 1, 2, 3, … Im Winter zeigt das Thermometer −5 °C. Teilt man eine Pizza in drei Stücke, bekommt jeder 1/3. Und misst man die Diagonale eines Quadrats mit 1 m Seitenlänge, kommt √2 m heraus — eine Zahl, die man nicht als Bruch schreiben kann.
Genau so wurden die Zahlen nach und nach „erweitert“, immer dann, wenn man sie brauchte. So entstanden fünf Zahlenmengen, die ineinander stecken wie Schachteln in Schachteln.
Inhalt
- Natürliche Zahlen ℕ
- Ganze Zahlen ℤ
- Rationale Zahlen ℚ
- Irrationale Zahlen
- Reelle Zahlen ℝ
- Wie alles zusammenpasst
- Wohin gehört eine Zahl
- Häufige Fehler
- Kurz gesagt
- Probier es selbst
- Lösungen
- Übe weiter
Natürliche Zahlen ℕ
ℕ = {1, 2, 3, 4, …} — die Zahlen, mit denen wir Dinge zählen.Nimmt man die Null dazu, erhält man ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …}.
⚠️ Manche Bücher zählen die 0 schon zu ℕ. Schau nach, wie es in deinem Schulbuch steht. Hier gilt: ℕ beginnt bei 1, ℕ₀ bei 0.
In ℕ kann man immer addieren und multiplizieren. Subtrahieren aber nicht: 3 − 5 = −2 ist keine natürliche Zahl mehr.
Ganze Zahlen ℤ
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — die natürlichen Zahlen, die Null und die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen.Ganze Zahlen brauchen wir für Temperaturen unter null, Schulden auf dem Konto oder Stockwerke in der Tiefgarage. In ℤ kann man addieren, subtrahieren und multiplizieren. Dividieren aber nicht immer: 7 : 2 = 3,5 ist keine ganze Zahl.
Rationale Zahlen ℚ
Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die man als Bruch a/b schreiben kann. Dabei ist a eine ganze Zahl und b eine natürliche Zahl.
Beispiele: 1/2, −3/4, 5 (= 5/1), 0 (= 0/1), 0,75 (= 3/4), −2,5 (= −5/2).
Auch periodische Dezimalzahlen sind rational. Zum Beispiel ist 0,333… = 1/3, denn 1 : 3 = 0,333…
💡 Rationale Zahlen erkennst du an ihrer Dezimaldarstellung. Sie ist entweder endlich (0,75) oder periodisch — einige Ziffern wiederholen sich ohne Ende (0,1666… = 1/6).
Irrationale Zahlen
Eine irrationale Zahl kann man nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch — die Ziffern wiederholen sich nie regelmäßig.
Die Menge der irrationalen Zahlen schreibt man ℝ∖ℚ: „die reellen Zahlen ohne die rationalen“.
Bekannte Beispiele:
- √2 = 1,41421356… — die Diagonale eines Quadrats mit Seite 1,
- π = 3,14159265… — wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt,
- √3, √5, √7 … — die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist.
⚠️ Nicht jede Wurzel ist irrational. √9 = 3 ist eine ganze Zahl, √(1/4) = 1/2 ist rational.
Reelle Zahlen ℝ
Die reellen Zahlen sind alle rationalen und alle irrationalen Zahlen zusammen. Das sind genau die Zahlen, die man auf dem Zahlenstrahl einzeichnen kann. Jeder Punkt der Zahlengeraden gehört zu genau einer reellen Zahl.
Wie alles zusammenpasst
- Jede natürliche Zahl ist ganz: ℕ ⊆ ℤ.
- Jede ganze Zahl ist rational (5 = 5/1): ℤ ⊆ ℚ.
- Jede rationale Zahl ist reell: ℚ ⊆ ℝ.
- Die irrationalen Zahlen sind ebenfalls reell, haben aber mit den rationalen nichts gemeinsam. Jede reelle Zahl ist entweder rational oder irrational — nie beides.
Wir schreiben: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ. Das Zeichen ⊆ liest man „ist Teilmenge von“.
Wohin gehört eine Zahl
Geh immer in derselben Reihenfolge vor:
- Vereinfache die Zahl, wenn es geht: √16 = 4, 12/4 = 3, (√3)² = 3.
- Lässt sie sich als Bruch schreiben? Wenn nein → irrational: Sie gehört zu ℝ∖ℚ und ℝ. Fertig.
- Wenn ja, ist sie rational: Sie gehört zu ℚ und ℝ.
- Ist sie ganz? Dann gehört sie auch zu ℤ.
- Ist sie ganz und positiv? Dann gehört sie auch zu ℕ.
Beispiel 1
Zu welchen Mengen gehört die Zahl −12/4?
- Vereinfachen: −12/4 = −3.
- −3 lässt sich als Bruch schreiben (−3/1), sie ist rational → ℚ, ℝ.
- −3 ist ganz → ℤ.
- −3 ist nicht positiv → nicht in ℕ.
- −12/4 ∈ ℤ, ℚ, ℝ.