Teilmengen und gleiche Mengen

Teilmengen und gleiche Mengen

In der Klasse sind 28 Schülerinnen und Schüler. 9 davon singen im Schulchor. Jedes Chormitglied ist also auch in der Klasse — der Chor ist ein Teil der Klasse. In der Mathematik sagen wir: Die Menge der Chormitglieder ist eine Teilmenge der Menge der Klasse.

Inhalt

Teilmenge

Die Menge A ist eine Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch in B liegt. Wir schreiben:

A ⊆ B — gelesen „A ist Teilmenge von B“.

B heißt dann auch Obermenge von A.

Mengendiagramm: Kreis B liegt ganz innerhalb von Kreis A

Im Bild liegt der Kreis B ganz innerhalb von Kreis A, also gilt B ⊆ A. In B gibt es nichts, was nicht auch in A ist.

Beispiele:

  • {2, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} — 2 und 4 liegen beide in der größeren Menge,
  • ℕ ⊆ ℤ — jede natürliche Zahl ist ganz,
  • {1, 5} ⊈ {1, 2, 3} — die 5 liegt nicht in der größeren Menge. Das Zeichen ⊈ heißt „ist keine Teilmenge von“.

💡 Viele Bücher schreiben ⊂ für eine echte Teilmenge: A ⊂ B heißt dann A ⊆ B und A ≠ B.

Zwei interessante Regeln:

  • Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst: A ⊆ A.
  • Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: ∅ ⊆ A. Sie hat kein Element, das „fehlen“ könnte.

So prüfst du A ⊆ B

Geh die Elemente von A einzeln durch und frag bei jedem: „Liegt es auch in B?“

  • Wenn ja bei allen → A ⊆ B.
  • Findest du auch nur ein Element von A, das nicht in B liegt → A ⊈ B.

Beispiel 1

Ist A = {3, 6, 9} eine Teilmenge von B = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 18}?

  1. B aufzählen: Die Teiler von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9, 18. B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  2. 3 ∈ B ✓, 6 ∈ B ✓, 9 ∈ B ✓.
  3. Ja, A ⊆ B.

Gleiche Mengen

Zwei Mengen sind gleich (A = B), wenn sie genau dieselben Elemente haben. Anders gesagt: A ⊆ B und zugleich B ⊆ A.

Reihenfolge und Schreibweise spielen keine Rolle:

  • {1, 2, 3} = {3, 1, 2},
  • {x ∈ ℤ | x² = 4} = {−2, 2},
  • {x ∈ ℕ | x ist eine gerade Primzahl} = {2}.

💡 Gleichheit prüfst du in zwei Schritten: Liegt jedes Element von A in B? Und liegt jedes Element von B in A?

Wenn keine Teilmenge der anderen ist

Oft gilt weder A ⊆ B noch B ⊆ A. Zum Beispiel A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 4}:

  • 1 liegt in A, aber nicht in B → A ⊈ B,
  • 4 liegt in B, aber nicht in A → B ⊈ A.

Die Mengen haben gemeinsame Elemente (2 und 3), aber jede hat auch etwas „Eigenes“.

Beschreibend angegebene Mengen

Ist eine Menge beschreibend angegeben, schreib zuerst ihre Elemente auf. Erst dann vergleichst du.

Beispiel 2

Vergleiche A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 2} und B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}.

  1. A: ganze Zahlen mit Abstand höchstens 2 von null. A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  2. B: ganze Zahlen von −2 (mit) bis 3 (ohne). B = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  3. Beide haben genau dieselben Elemente. A = B.

Beispiel 3

Vergleiche A = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 6} und B = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 12}.

  1. A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
  2. Jedes Element von A liegt in B → A ⊆ B.
  3. Die 4 liegt in B, aber nicht in A → A ≠ B.
  4. A ⊆ B und A ≠ B. (Jeder Teiler von 6 ist auch ein Teiler von 12, weil 6 die 12 teilt.)

Häufige Fehler

  • Richtung verwechselt: A ⊆ B heißt, A ist kleiner oder gleich. „A liegt in B“, nicht umgekehrt.
  • Ein paar gemeinsame Elemente reichen nicht: Jedes Element von A muss in B liegen.
  • Reihenfolge der Elemente: {1, 2, 3} und {3, 2, 1} sind gleich.
  • Leere Menge vergessen: ∅ ⊆ A gilt für jede Menge A.

Kurz gesagt

  • A ⊆ B: Jedes Element von A liegt auch in B.
  • A = B: A ⊆ B und B ⊆ A. Gleiche Elemente, Reihenfolge egal.
  • A ⊆ A und ∅ ⊆ A gelten immer.
  • Beschreibend angegebene Mengen zuerst aufzählen, dann vergleichen.

Probier es selbst

  1. Gilt {2, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}?
  2. Gilt {−1, 1} ⊆ ℕ?
  3. Vergleiche A = {x ∈ ℤ | x² = 16} und B = {−4, 4}.
  4. Vergleiche A = {x ∈ ℕ | x ist eine Primzahl, x < 10} und B = {x ∈ ℕ | x ist ungerade, x < 10}.
  5. Schreibe alle Teilmengen der Menge {a, b} auf.

Lösungen

  1. Ja, 2 und 5 liegen in der größeren Menge.
  2. Nein, −1 ∉ ℕ.
  3. A = {−4, 4}, also A = B.
  4. A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. 2 ∈ A, aber 2 ∉ B. Und 1 ∈ B, aber 1 ∉ A. Keine ist Teilmenge der anderen.
  5. ∅, {a}, {b}, {a, b} — vier Teilmengen. Vergiss die leere Menge und die Menge selbst nicht.

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