Du und deine Freundin vergleicht eure Playlists. Manche Lieder habt ihr beide, manche nur du, manche nur sie. Wollt ihr etwas hören, das beiden gefällt, sucht ihr die Schnittmenge. Für eine gemeinsame Party-Playlist bildet ihr die Vereinigungsmenge. Und wenn du ihr Tipps schicken willst, die sie noch nicht kennt, suchst du die Differenz.
Genau so rechnet man mit Mengen. Im ganzen Artikel benutzen wir zwei Mengen:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}
Inhalt
Schnittmenge A ∩ B
Die Schnittmenge von A und B enthält die Elemente, die in A und in B liegen — in beiden gleichzeitig.
A ∩ B — gelesen „A geschnitten B“.
Für unsere Mengen: A ∩ B = {4, 5}. Nur 4 und 5 liegen in beiden.
💡 Das Zeichen ∩ sieht aus wie eine umgedrehte Schüssel. Merkhilfe: ∩ = „sowohl … als auch“.
Vereinigungsmenge A ∪ B
Die Vereinigungsmenge enthält die Elemente, die in mindestens einer der Mengen liegen — in A, in B oder in beiden.
A ∪ B — gelesen „A vereinigt B“.
Für unsere Mengen: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Die 4 und die 5 schreiben wir nur einmal.
💡 Das Zeichen ∪ sieht aus wie eine Schüssel, in die alles hineinkommt. Merkhilfe: ∪ = „in mindestens einer“.
Beispiel 1
Bestimme A ∩ B und A ∪ B für A = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 12} und B = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 18}.
- Aufzählen: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- Schnittmenge — Zahlen in beiden: A ∩ B = {1, 2, 3, 6}. Das sind die gemeinsamen Teiler von 12 und 18.
- Vereinigungsmenge — alles, jede Zahl einmal: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}.
Differenzmenge A ∖ B
Die Differenzmenge A ∖ B enthält die Elemente, die in A, aber nicht in B liegen. Aus A „werfen wir alles hinaus“, was auch in B liegt.
A ∖ B — gelesen „A ohne B“.
Für unsere Mengen: A ∖ B = {1, 2, 3}.
⚠️ Die Reihenfolge ist wichtig! B ∖ A enthält die Elemente von B, die nicht in A liegen: B ∖ A = {6, 7}. Das ist eine ganz andere Menge.
Komplement Aᶜ
Für das Komplement brauchen wir die Grundmenge U. Das ist die Menge von allem, worüber wir gerade sprechen, zum Beispiel alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse oder alle Zahlen von 1 bis 10.
Das Komplement (die Ergänzungsmenge) von A enthält die Elemente der Grundmenge U, die nicht in A liegen.
Aᶜ — gelesen „Komplement von A“. Viele Bücher schreiben auch Ā („A quer“). Es ist dasselbe wie U ∖ A.
Ist U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, dann ist Aᶜ = {6, 7, 8, 9, 10}.
💡 Ohne U hat das Komplement keinen Sinn. Das Komplement einer Klasse innerhalb der Schule sind die anderen Schülerinnen und Schüler der Schule, innerhalb der Stadt alle anderen Einwohner.
💡 In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißt Ā das Gegenereignis von A.
Zusammengesetzte Ausdrücke
Operationen lassen sich kombinieren. Zuerst rechnet man, was in der Klammer steht, wie bei Zahlen.
Beispiel 2
U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}. Bestimme (A ∪ B)ᶜ.
- Klammer: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Komplement in U — was in U fehlt: (A ∪ B)ᶜ = {8, 9, 10}.
Beispiel 3
Bestimme für dieselben Mengen A ∩ Bᶜ.
- Bᶜ = Elemente von U, die nicht in B liegen: Bᶜ = {1, 2, 3, 8, 9, 10}.
- A ∩ Bᶜ = Elemente, die in A und in Bᶜ liegen: {1, 2, 3}.
- Schau genau hin: Das ist dasselbe wie A ∖ B. Es gilt nämlich A ∖ B = A ∩ Bᶜ.
Disjunkte Mengen
Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, ist ihre Schnittmenge leer: A ∩ B = ∅. Solche Mengen heißen disjunkt.
Beispiele: gerade und ungerade Zahlen, oder rationale und irrationale Zahlen.
Übersicht
| Operation | Zeichen | In Worten | Für A = {1,…,5}, B = {4,…,7} |
|---|
| Schnittmenge | A ∩ B | in A und in B | {4, 5} |
| Vereinigungsmenge | A ∪ B | in mindestens einer | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} |
| Differenz | A ∖ B | in A, aber nicht in B | {1, 2, 3} |
| Differenz | B ∖ A | in B, aber nicht in A | {6, 7} |
| Komplement | Aᶜ | in U, aber nicht in A | {6, 7, 8, 9, 10} für U = {1,…,10} |
Häufige Fehler
- ∩ und ∪ verwechselt: ∩ ist „sowohl … als auch“ (kleinere Menge), ∪ ist „in mindestens einer“ (größere Menge).
- Elemente doppelt in der Vereinigung: Gemeinsame Elemente schreibt man nur einmal.
- A ∖ B = B ∖ A: Das stimmt nicht! Bei der Differenz kommt es auf die Reihenfolge an.
- Komplement ohne U: Kläre immer, was die Grundmenge ist.
- Leere Schnittmenge als {0}: Gibt es nichts Gemeinsames, ist das Ergebnis ∅.
Kurz gesagt
- A ∩ B: Elemente in A und in B.
- A ∪ B: Elemente in mindestens einer der Mengen, jedes einmal.
- A ∖ B: Elemente von A, die nicht in B liegen. A ∖ B ≠ B ∖ A.
- Aᶜ (oder Ā): Elemente von U, die nicht in A liegen.
- Klammern zuerst. A ∖ B = A ∩ Bᶜ.
Probier es selbst
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 5, 6}.
- A ∩ B
- A ∪ B
- A ∖ B
- B ∖ A
- Aᶜ
- (A ∩ B)ᶜ
- Aᶜ ∩ Bᶜ
Lösungen
- A ∩ B = {3, 5}
- A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
- A ∖ B = {1, 7}
- B ∖ A = {4, 6}
- Aᶜ = {2, 4, 6, 8}
- (A ∩ B)ᶜ = {1, 2, 4, 6, 7, 8}
- Aᶜ = {2, 4, 6, 8}, Bᶜ = {1, 2, 7, 8}, also Aᶜ ∩ Bᶜ = {2, 8}. Das ist dasselbe wie (A ∪ B)ᶜ — die Zahlen, die weder in A noch in B liegen.
Übe weiter
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