In einem Jahrgang lernen die Schülerinnen und Schüler Englisch, Französisch und Spanisch. Manche lernen eine Sprache, manche zwei und manche alle drei. Die Lehrerin möchte wissen, wie viele keine davon lernen. Bei drei Mengen kommt man schnell durcheinander. Ein Mengendiagramm hilft dir, alles so zu ordnen, dass niemand doppelt gezählt wird.
💡 Warum genau acht? Jedes Element „entscheidet“ dreimal: In A oder nicht? In B? In C? Das sind 2 · 2 · 2 = 8 Möglichkeiten. Bei zwei Mengen waren es 2 · 2 = 4.
Ausdrücke färben
Das Vorgehen ist wie bei zwei Mengen: Geh alle acht Teile durch und entscheide bei jedem, ob er zur Menge gehört.
Beispiel 1
Färbe die Menge A ∖ (B ∪ C).
Der Ausdruck bedeutet: Elemente von A, die weder in B noch in C liegen.
Von den Teilen des Kreises A (1, 3, 5, 7) werfen wir die hinaus, die auch in B oder C liegen (3, 5, 7).
Übrig bleibt nur Teil 1.
Beispiel 2
Färbe die Menge (A ∩ B) ∪ C.
A ∩ B: Teile 3 und 7.
C: Teile 4, 5, 6, 7.
Vereinigung: Teile 3, 4, 5, 6, 7.
Die Schnittmenge aller drei, A ∩ B ∩ C, ist nur der mittlere Teil 7:
Anzahlen aus dem Diagramm ablesen
Manchmal steht in jedem Teil, wie viele Elemente darin liegen. Dann musst du nur die richtigen Teile addieren.
Im Diagramm unten steht im Teil „nur A“ die 9, in der Mitte die 4 und so weiter.
|A| = 9 + 5 + 3 + 4 = 21 (alle Teile des Kreises A),
|A ∩ B| = 5 + 4 = 9 (Teile 3 und 7),
in genau einer Menge: 9 + 6 + 7 = 22,
in mindestens zwei Mengen: 5 + 3 + 2 + 4 = 14.
⚠️ „A ∩ B“ enthält auch die Mitte. Elemente, die in allen drei Mengen liegen, liegen ja auch in A und in B.
Textaufgabe: von der Mitte aus füllen
Im Jahrgang sind 40 Schülerinnen und Schüler. 21 lernen Englisch, 17 Französisch, 16 Spanisch. Englisch und Französisch lernen 9, Englisch und Spanisch 7, Französisch und Spanisch 6 und alle drei Sprachen 4. Wie viele lernen keine dieser Sprachen?
Goldene Regel: Fang in der Mitte an und arbeite dich nach außen. Die Zahlen „Englisch und Französisch“ enthalten nämlich auch alle, die drei Sprachen lernen.
Mitte: alle drei Sprachen — 4.
Paare ohne Mitte:
- Englisch und Französisch, aber nicht Spanisch: 9 − 4 = 5,
- Englisch und Spanisch, aber nicht Französisch: 7 − 4 = 3,
- Französisch und Spanisch, aber nicht Englisch: 6 − 4 = 2.
21 + 17 + 16 − 9 − 7 − 6 + 4 = 36 ✓. Die Mitte wurde in den ersten drei Zahlen dreimal gezählt und dann dreimal abgezogen. Deshalb müssen wir sie einmal wieder dazuzählen. Das Füllen von der Mitte aus ist aber sicherer und leichter zu überprüfen.
Häufige Fehler
Von außen füllen: „nur Englisch = 21“ ist falsch — die 21 enthält auch alle, die noch eine Sprache lernen.
Mitte bei den Paaren vergessen: „Englisch und Französisch = 9“ enthält auch die 4, die alle drei Sprachen lernen.
Mitte zweimal abgezogen: Bei „nur A“ ziehst du die Paare ohne Mitte ab und die Mitte einmal.
Keine Probe: Die Summe der acht Teile muss die Gesamtzahl ergeben.
Kurz gesagt
Drei Kreise bilden 8 Teile (2 · 2 · 2).
Beim Färben alle acht Teile durchgehen.
Bei Anzahlen alle Teile addieren, die zur Menge gehören — auch die Mitte.
Textaufgaben: Mitte → Paare (minus Mitte) → „nur eine“ → außerhalb. Am Ende die Summe prüfen.
Probier es selbst
Welche Teile (1–8) bilden die Menge (A ∪ B) ∖ C?
Welche Teile bilden B ∩ Cᶜ?
Wie viele Elemente hat B ∪ C im Diagramm mit Anzahlen oben?
Ein Sportverein hat 50 Mitglieder. 25 laufen, 20 fahren Rad, 18 schwimmen. Laufen und Radfahren 8, Laufen und Schwimmen 6, Radfahren und Schwimmen 5, alle drei Sportarten 3. Wie viele machen keine dieser Sportarten? Wie viele gehen nur laufen?
Lösungen
A ∪ B: Teile 1, 2, 3, 5, 6, 7. Ohne C (5, 6, 7 fallen weg): Teile 1, 2, 3.
B: Teile 2, 3, 6, 7. Ohne C: Teile 2, 3.
B ∪ C = alles in den Kreisen B und C: 6 + 5 + 2 + 4 + 7 + 3 = 27.
Mitte 3. Paare ohne Mitte: 8 − 3 = 5, 6 − 3 = 3, 5 − 3 = 2. Nur Laufen: 25 − 5 − 3 − 3 = 14. Nur Radfahren: 20 − 5 − 2 − 3 = 10. Nur Schwimmen: 18 − 3 − 2 − 3 = 10. Mindestens eine Sportart: 3 + 5 + 3 + 2 + 14 + 10 + 10 = 47. Keine Sportart: 3 Mitglieder. Nur Laufen: 14 Mitglieder.
