In der Klasse sind 28 Schülerinnen und Schüler. 15 gehen in die Fußball-AG, 12 in die Schwimm-AG und 5 in beide. Wie viele gehen in keine?
Rechnest du 15 + 12, kommt 27 heraus. Dann ginge nur eine Person in keine AG. Das ist aber falsch! Fünf gehen in beide AGs, und die haben wir doppelt gezählt. Genau hier hilft ein Bild, das der englische Mathematiker John Venn im 19. Jahrhundert erfunden hat.
Das Rechteck stellt die Grundmenge U dar — alles, worüber wir sprechen (zum Beispiel alle in der Klasse).
Jede Menge ist ein Kreis im Rechteck.
Die Kreise überlappen sich. In der Überlappung liegen die Elemente, die zu beiden Mengen gehören.
Die vier Teile des Diagramms
Zwei Kreise teilen das Rechteck in vier Teile:
Teil
Wer liegt darin
Schreibweise
1
nur in A
A ∖ B
2
in A und in B
A ∩ B
3
nur in B
B ∖ A
4
weder in A noch in B
(A ∪ B)ᶜ
Jedes Element der Grundmenge liegt in genau einem dieser vier Teile. Das ist das ganze Geheimnis der Mengendiagramme.
Operationen im Diagramm
Jede Operation kann man zeigen, indem man bestimmte Teile färbt:
Menge
Gefärbte Teile
A
1, 2
A ∩ B
2
A ∪ B
1, 2, 3
A ∖ B
1
Aᶜ
3, 4
(A ∪ B)ᶜ
4
(A ∩ B)ᶜ
1, 3, 4
Einen zusammengesetzten Ausdruck färben
Bei einem zusammengesetzten Ausdruck rätst du die Form nicht. Geh alle vier Teile durch und frag bei jedem, ob er zur Menge gehört.
Beispiel 1
Färbe die Menge Aᶜ ∩ B.
Aᶜ ∩ B enthält die Elemente, die nicht in A und in B liegen.
Teil 1 (nur A): liegt in A → gehört nicht dazu.
Teil 2 (A und B): liegt in A → gehört nicht dazu.
Teil 3 (nur B): nicht in A und in B → gehört dazu.
Teil 4 (außerhalb): nicht in B → gehört nicht dazu.
Wir färben nur Teil 3. Aᶜ ∩ B ist dasselbe wie B ∖ A.
Anzahl der Elemente der Vereinigung
Die Anzahl der Elemente der Menge A schreibt man |A|. Für zwei Mengen gilt:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Warum minus? Die Elemente der Schnittmenge sind in |A| und in |B| enthalten, also doppelt gezählt. Deshalb ziehen wir sie einmal ab.
Textaufgaben Schritt für Schritt
Zurück zur Aufgabe vom Anfang: 28 in der Klasse, Fußball 15, Schwimmen 12, beides 5.
Vorgehen: Fülle das Diagramm von der Mitte aus.
Mitte (beides): 5.
Nur Fußball: 15 − 5 = 10. (Von den 15 Fußballern schwimmen 5 auch.)
Nur Schwimmen: 12 − 5 = 7.
Mindestens eine AG: 10 + 5 + 7 = 22. Mit der Formel genauso: 15 + 12 − 5 = 22.
Keine AG: 28 − 22 = 6.
💡 Probe: Alle vier Zahlen im Diagramm ergeben zusammen die Gesamtzahl. 10 + 5 + 7 + 6 = 28 ✓.
Beispiel 2
An einer Umfrage haben 40 Familien teilgenommen. 18 haben einen Hund, 14 eine Katze und 15 weder Hund noch Katze. Wie viele Familien haben Hund und Katze?
Mindestens ein Tier haben 40 − 15 = 25 Familien. Das ist |A ∪ B|.
Nach der Formel: 25 = 18 + 14 − |A ∩ B|.
|A ∩ B| = 18 + 14 − 25 = 7 Familien.
Probe: nur Hund 18 − 7 = 11, nur Katze 14 − 7 = 7, beides 7, keins 15. Zusammen 11 + 7 + 7 + 15 = 40 ✓.
Mengendiagramm und Vierfeldertafel
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) schreibt man dieselben vier Teile oft in eine Vierfeldertafel. Für die AG-Aufgabe sieht sie so aus:
Schwimmen
kein Schwimmen
Summe
Fußball
5
10
15
kein Fußball
7
6
13
Summe
12
16
28
Jedes innere Feld entspricht genau einem Teil des Mengendiagramms: 5 ist A ∩ B, 10 ist A ∖ B, 7 ist B ∖ A und 6 ist (A ∪ B)ᶜ. Die Summen am Rand sind |A|, |Aᶜ|, |B|, |Bᶜ| und die Gesamtzahl.
💡 Beides beschreibt dieselbe Situation. Das Diagramm ist anschaulicher, die Tafel zeigt auch die Summen auf einen Blick.
Häufige Fehler
Addieren ohne die Schnittmenge abzuziehen: 15 + 12 ist nicht die Zahl der AG-Mitglieder, die Schnittmenge ist doppelt drin.
„15 in Fußball“ als „nur Fußball“ lesen: Die 15 enthält auch alle, die zusätzlich schwimmen.
Teil außerhalb der Kreise vergessen: Nicht jedes Element von U muss in einer der Mengen liegen.
Von außen ausfüllen: Fang immer mit der Schnittmenge an, dann „nur A“ und „nur B“.
Kurz gesagt
Rechteck = Grundmenge U, Kreise = Mengen.
Zwei Kreise bilden 4 Teile: nur A, A und B, nur B, außerhalb.
Beim Färben jeden Teil durchgehen und entscheiden, ob er zur Menge gehört.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Textaufgaben: von der Mitte aus füllen, am Ende die Summe prüfen.
Probier es selbst
Welche Teile (1–4) färbst du für die Menge A ∪ Bᶜ?
|A| = 20, |B| = 13, |A ∩ B| = 6. Wie groß ist |A ∪ B|?
In einer Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler. 24 lernen Englisch, 11 Französisch und 8 beide Sprachen. Wie viele lernen keine dieser Sprachen?
Beim Ausflug waren 35 dabei. 20 haben Eis gekauft, 18 Limonade und 5 nichts davon. Wie viele haben Eis und Limonade gekauft?
Lösungen
Teile 1, 2 (liegen in A) und Teil 4 (liegt nicht in B). Zusammen 1, 2, 4 — alles außer „nur B“.
