Die Sportlehrerin sagt: „In die Volleyballmannschaft kommen alle, die mindestens 175 cm groß sind.“ Sie hat noch keinen Namen genannt. Trotzdem ist klar, wer dazugehört. Man muss nur alle messen.
Genau so funktioniert eine Menge. Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen, bei der man von jedem Ding eindeutig sagen kann, ob es dazugehört oder nicht. Die Dinge, die dazugehören, heißen Elemente der Menge.
Inhalt
- Was ist eine Menge
- Die Zeichen ∈ und ∉
- Aufzählende Darstellung
- Beschreibende Darstellung
- Die leere Menge
- Endliche und unendliche Mengen
- Häufige Fehler
- Kurz gesagt
- Probier es selbst
- Lösungen
- Übe weiter
Was ist eine Menge
Stell dir eine Menge wie einen Beutel vor, in den wir Dinge legen. Dabei gelten zwei Regeln:
- Bei jedem Ding muss klar sein, ob es im Beutel ist oder nicht.
- Jedes Ding ist höchstens einmal im Beutel. Doppelt zählt nichts.
Mengen bezeichnen wir mit großen Buchstaben: A, B, C, M … Die Elemente schreiben wir in geschweifte Klammern { }.
Beispiele:
- die Tage des Wochenendes: {Samstag, Sonntag},
- die Vokale im Wort „Mama“: {a} — das „a“ schreiben wir nur einmal,
- die geraden Zahlen kleiner als 10: {2, 4, 6, 8}.
⚠️ „Die Menge der schönen Filme“ ist keine Menge. Was schön ist, sieht jeder anders. Man kann also nicht eindeutig entscheiden, ob ein Film dazugehört.
Die Zeichen ∈ und ∉
Dass die Zahl 4 zur Menge A = {2, 4, 6, 8} gehört, schreiben wir so:
4 ∈ A — gelesen „4 ist Element von A“.
Dass die Zahl 5 nicht dazugehört, schreiben wir so:
5 ∉ A — gelesen „5 ist kein Element von A“.
💡 Das Zeichen ∈ erinnert an ein „E“ wie „Element“. Das durchgestrichene ∉ bedeutet das Gegenteil, genau wie ≠ beim Gleichheitszeichen.
Aufzählende Darstellung
Am einfachsten ist es, alle Elemente aufzuschreiben:
A = {1, 2, 3, 6}
Dabei gilt:
- Die Reihenfolge ist egal. {1, 2, 3, 6} und {6, 3, 2, 1} sind dieselbe Menge.
- Kein Element doppelt. {1, 2, 2, 3} schreibt man nicht — richtig ist {1, 2, 3}.
Die aufzählende Darstellung passt, wenn es nur wenige Elemente gibt. Sind es viele, die regelmäßig aufeinander folgen, darf man Pünktchen benutzen: {1, 2, 3, …, 100}.
Beschreibende Darstellung
Die zweite Möglichkeit: Man nennt eine Eigenschaft, die alle Elemente haben — und sonst nichts.
A = {x ∈ ℕ | x ist ein Teiler von 6}
Gelesen: „A ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist ein Teiler von 6.“
Die Schreibweise hat drei Teile:
| Teil | Bedeutung |
|---|---|
| x ∈ ℕ | aus welchen Zahlen wir auswählen (hier die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …) |
| | | „für die gilt“ |
| x ist ein Teiler von 6 | die Bedingung, die x erfüllen muss |
Die Elemente findest du, indem du die Zahlen der Reihe nach ausprobierst: 1 teilt 6 ✓, 2 ✓, 3 ✓, 4 ✗, 5 ✗, 6 ✓. Größere Zahlen teilen 6 nicht mehr. Also ist A = {1, 2, 3, 6}.
Beispiel 1
Zähle die Elemente der Menge B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3} auf.
- Wir wählen aus den ganzen Zahlen ℤ — also auch die Null und negative Zahlen.
- Bedingung: x ist größer oder gleich −2 und gleichzeitig kleiner als 3.
- Bei „≤“ gehört die Grenzzahl dazu: −2 ist dabei.
- Bei „<“ gehört die Grenzzahl nicht dazu: 3 ist nicht dabei.
- B = {−2, −1, 0, 1, 2}.