Oberflaeche und Volumen einer Pyramide

Pyramiden gehoeren zu den bekanntesten geometrischen Koerpern. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf die regelmaessige quadratische Pyramide -- den Typ, dem du in Schulaufgaben am haeufigsten begegnest.

Inhaltsverzeichnis

Was ist eine regelmaessige quadratische Pyramide?
Wichtige Masse
Seitenhoehe
Netz einer Pyramide
Grundflaeche
Mantelflaeche
Gesamtoberflaeche
Volumen
Beispiel 1 -- Oberflaeche
Beispiel 2 -- Volumen und Seitenhoehe
Formeluebersicht
Uebungsaufgaben

Was ist eine regelmaessige quadratische Pyramide?

Eine regelmaessige quadratische Pyramide ist ein 3D-Koerper mit:

Einer quadratischen Grundflaeche
Vier kongruenten dreieckigen Seitenflaechen, die sich in einem Punkt treffen -- der Spitze (Apex)
Die Spitze liegt senkrecht ueber dem Mittelpunkt der Grundflaeche

```

\ /

\ ^ / ^ = Spitze

\ | /

\|/

+-------+-------+

| | |

| Grund (a*a) |

| |

+---------------+

```

Wichtige Masse

Eine regelmaessige quadratische Pyramide wird durch drei Groessen beschrieben:

Symbol	Bedeutung
$a$	Seitenlaenge der quadratischen Grundflaeche (Grundkante)
$h$	Hoehe -- senkrechter Abstand von der Grundflaeche zur Spitze
$h_{s}$	Seitenhoehe -- Abstand vom Mittelpunkt einer Grundkante zur Spitze, gemessen entlang einer Dreiecksflaeche

Verwechsle nicht $h$ (die senkrechte Hoehe durch den Mittelpunkt) mit $h_{s}$ (die Seitenhoehe entlang einer Flaeche). Sie sind nicht gleich.

Seitenhoehe

Die Seitenhoehe verbindet den Mittelpunkt einer Grundkante mit der Spitze. Zusammen mit der Hoehe $h$ und der halben Grundkante $\frac{a}{2}$ bilden diese drei Laengen ein rechtwinkliges Dreieck:

```

Spitze

h | \ h_s

| \

|_____\

a/2

```

Nach dem Satz des Pythagoras:

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

Du brauchst $h_{s}$ fuer die Berechnung der Mantelflaeche. Berechne die Seitenhoehe immer zuerst, wenn sie nicht direkt gegeben ist.

Netz einer Pyramide

Wenn du eine regelmaessige quadratische Pyramide auffaltest, erhaeltst du:

Ein Quadrat (Seitenlaenge $a$ ) -- die Grundflaeche
Vier kongruente gleichschenklige Dreiecke -- jeweils mit der Basis $a$ und der Hoehe $h_{s}$

Grundflaeche

Die Grundflaeche ist ein Quadrat mit der Seitenlaenge $a$ :

S_{Grund} = a^{2}

Mantelflaeche

Jede dreieckige Seitenflaeche hat die Basis $a$ und die Hoehe (Seitenhoehe) $h_{s}$ . Die Flaeche eines Dreiecks betraegt:

S_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s}

Es gibt vier solche Dreiecke, daher ist die gesamte Mantelflaeche:

S_{Mantel} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s}

S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s}

Gesamtoberflaeche

Die Gesamtoberflaeche ist die Grundflaeche plus die Mantelflaeche:

S = S_{Grund} + S_{Mantel}

S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}

Man kann auch ausklammern: $S = a (a + 2 h_{s})$ .

Volumen

Das Volumen jeder Pyramide betraegt ein Drittel der Grundflaeche mal der Hoehe:

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Warum ein Drittel? Ein Wuerfel laesst sich in drei kongruente Pyramiden zerlegen. Jede Pyramide hat daher $\frac{1}{3}$ des Wuerfelvolumens. Diese Beziehung gilt fuer alle Pyramiden, nicht nur fuer solche, die aus Wuerfeln geschnitten werden.

Beispiel 1 -- Oberflaeche

Aufgabe: Eine regelmaessige quadratische Pyramide hat die Grundkante

a = 10 cm

und die Hoehe

h = 12 cm

. Berechne die Gesamtoberflaeche. Schritt 1 -- Seitenhoehe berechnen:

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13 cm

Schritt 2 -- Grundflaeche:

S_{Grund} = a^{2} = 1 0^{2} = 100 cm^{2}

Schritt 3 -- Mantelflaeche:

S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s} = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260 cm^{2}

Schritt 4 -- Gesamtoberflaeche:

S = 100 + 260

S = 360 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen und Seitenhoehe

Aufgabe: Eine regelmaessige quadratische Pyramide hat die Grundkante

a = 6 cm

und die Seitenhoehe

h_{s} = 5 cm

. Berechne das Volumen. Schritt 1 -- Hoehe aus der Seitenhoehe berechnen:

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

25 = h^{2} + 9

h^{2} = 16

h = 4 cm

Schritt 2 -- Volumen berechnen:

V = \frac{1}{3} a^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \frac{144}{3}

V = 48 cm^{3}

Formeluebersicht

Groesse	Formel
Seitenhoehe	$h_{s} = h^{2} + (a /2)^{2}$
Grundflaeche	$S_{Grund} = a^{2}$
Mantelflaeche	$S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s}$
Gesamtoberflaeche	$S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}$
Volumen	$V = \frac{1}{3} a^{2} h$

Uebungsaufgaben

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Oberflaeche und Volumen einer Pyramide -- Formeln und Beispiele