Oberfläche und Volumen einer Pyramide -- Formeln und Beispiele

Pyramiden gehören zu den bekanntesten geometrischen Körpern. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf die regelmäßige quadratische Pyramide -- den Typ, dem du in Schulaufgaben am häufigsten begegnest.

Inhaltsverzeichnis

Was ist eine regelmäßige quadratische Pyramide?
Wichtige Maße
Seitenhöhe
Netz einer Pyramide
Grundfläche
Mantelfläche
Gesamtoberfläche
Volumen
Beispiel 1 -- Oberfläche
Beispiel 2 -- Volumen und Seitenhöhe
Formelübersicht
Übungsaufgaben

Was ist eine regelmäßige quadratische Pyramide?

Eine regelmäßige quadratische Pyramide ist ein 3D-Körper mit:

Einer quadratischen Grundfläche
Vier kongruenten dreieckigen Seitenflächen, die sich in einem Punkt treffen -- der Spitze (Apex)
Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche

            \       /
             \  ^  /       ^ = Spitze
              \ | /
               \|/
        +-------+-------+
        |       |       |
        |   Grund (a*a) |
        |               |
        +---------------+

Wichtige Maße

Eine regelmäßige quadratische Pyramide wird durch drei Größen beschrieben:

Symbol	Bedeutung
$a$	Seitenlänge der quadratischen Grundfläche (Grundkante)
$h$	Höhe -- senkrechter Abstand von der Grundfläche zur Spitze
$h_{s}$	Seitenhöhe -- Abstand vom Mittelpunkt einer Grundkante zur Spitze, gemessen entlang einer Dreiecksfläche

Verwechsle nicht $h$ (die senkrechte Höhe durch den Mittelpunkt) mit $h_{s}$ (die Seitenhöhe entlang einer Fläche). Sie sind nicht gleich.

Seitenhöhe

Die Seitenhöhe verbindet den Mittelpunkt einer Grundkante mit der Spitze. Zusammen mit der Höhe $h$ und der halben Grundkante $\frac{a}{2}$ bilden diese drei Längen ein rechtwinkliges Dreieck:

        Spitze
         |\
      h  |  \ h_s
         |    \
         |_____\
          a/2

Nach dem Satz des Pythagoras:

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

Du brauchst $h_{s}$ für die Berechnung der Mantelfläche. Berechne die Seitenhöhe immer zuerst, wenn sie nicht direkt gegeben ist.

Netz einer Pyramide

Wenn du eine regelmäßige quadratische Pyramide auffaltest, erhältst du:

Ein Quadrat (Seitenlänge $a$ ) -- die Grundfläche
Vier kongruente gleichschenklige Dreiecke -- jeweils mit der Basis $a$ und der Höhe $h_{s}$

Grundfläche

Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ :

S_{Grund} = a^{2}

Mantelfläche

Jede dreieckige Seitenfläche hat die Basis $a$ und die Höhe (Seitenhöhe) $h_{s}$ . Die Fläche eines Dreiecks beträgt:

S_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s}

Es gibt vier solche Dreiecke, daher ist die gesamte Mantelfläche:

S_{Mantel} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{s}

S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s}

Gesamtoberfläche

Die Gesamtoberfläche ist die Grundfläche plus die Mantelfläche:

S = S_{Grund} + S_{Mantel}

S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}

Man kann auch ausklammern: $S = a (a + 2 h_{s})$ .

Volumen

Das Volumen jeder Pyramide beträgt ein Drittel der Grundfläche mal der Höhe:

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Warum ein Drittel? Ein Würfel lässt sich in drei kongruente Pyramiden zerlegen. Jede Pyramide hat daher $\frac{1}{3}$ des Würfelvolumens. Diese Beziehung gilt für alle Pyramiden, nicht nur für solche, die aus Würfeln geschnitten werden.

Beispiel 1 -- Oberfläche

Aufgabe: Eine regelmäßige quadratische Pyramide hat die Grundkante

a = 10 cm

und die Höhe

h = 12 cm

. Berechne die Gesamtoberfläche. Schritt 1 -- Seitenhöhe berechnen:

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13 cm

Schritt 2 -- Grundfläche:

S_{Grund} = a^{2} = 1 0^{2} = 100 cm^{2}

Schritt 3 -- Mantelfläche:

S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s} = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260 cm^{2}

Schritt 4 -- Gesamtoberfläche:

S = 100 + 260

S = 360 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen und Seitenhöhe

Aufgabe: Eine regelmäßige quadratische Pyramide hat die Grundkante

a = 6 cm

und die Seitenhöhe

h_{s} = 5 cm

. Berechne das Volumen. Schritt 1 -- Höhe aus der Seitenhöhe berechnen:

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

25 = h^{2} + 9

h^{2} = 16

h = 4 cm

Schritt 2 -- Volumen berechnen:

V = \frac{1}{3} a^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \frac{144}{3}

V = 48 cm^{3}

Formelübersicht

Größe	Formel
Seitenhöhe	$h_{s} = h^{2} + (a /2)^{2}$
Grundfläche	$S_{Grund} = a^{2}$
Mantelfläche	$S_{Mantel} = 2 a \cdot h_{s}$
Gesamtoberfläche	$S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}$
Volumen	$V = \frac{1}{3} a^{2} h$

Übungsaufgaben

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