Oberfläche und Volumen einer Kugel -- Formeln und Beispiele

Die Kugel ist der einfachste 3D-Körper -- jeder Punkt auf ihrer Oberfläche hat den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Sie wird durch nur einen Parameter beschrieben: den Radius $r$ .

Inhaltsverzeichnis

Was ist eine Kugel?
Wichtige Maße
Oberfläche
Volumen
Beispiel 1 -- Oberfläche
Beispiel 2 -- Volumen
Beispiel 3 -- Radius aus dem Volumen bestimmen
Interessante Fakten über Kugeln
Formelübersicht
Übungsaufgaben

Was ist eine Kugel?

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die einen festen Abstand (den Radius) von einem zentralen Punkt (dem Mittelpunkt) haben.

         ___----------___
       //                 \\
      /       *---r         \       * = Mittelpunkt
     |                       |
      \                     /
       \\___         ___//
            ----------

Wichtige Eigenschaften:

Eine Kugel hat keine Kanten und keine Ecken
Sie hat eine einzige gekrümmte Oberfläche
Sie ist in jeder Richtung perfekt symmetrisch
Sie ist durch ihren Radius $r$ (oder den Durchmesser $d = 2 r$ ) eindeutig bestimmt

Eine Kugel hat keine ebenen Flächen, daher gibt es keine Grundfläche oder Mantelfläche -- es gibt nur die Gesamtoberfläche.

Wichtige Maße

Symbol	Bedeutung
$r$	Radius -- Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche
$d$	Durchmesser -- $d = 2 r$

Das ist alles, was du brauchst. Anders als bei Zylindern, Kegeln und Pyramiden benötigt die Kugel keine Höhe und keine Seitenhöhe.

Oberfläche

Die Oberfläche einer Kugel beträgt:

S = 4 π r^{2}

Interessanter Zusammenhang: Die Oberfläche einer Kugel ist genau 4-mal so groß wie die Fläche eines Kreises mit demselben Radius: $S = 4 \cdot π r^{2}$ .

Wenn der Durchmesser gegeben ist:

S = 4 π (\frac{d}{2})^{2} = π d^{2}

Volumen

Das Volumen einer Kugel beträgt:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Wenn der Durchmesser gegeben ist:

V = \frac{4}{3} π (\frac{d}{2})^{3} = \frac{π d ^{3}}{6}

Merkhilfe: Die Volumenformel enthält $r^{3}$ (kubisch, da Volumen dreidimensional ist) und den Bruch $\frac{4}{3}$ .

Beispiel 1 -- Oberfläche

Aufgabe: Eine Kugel hat den Radius

r = 10 cm

. Berechne ihre Oberfläche. Lösung:

S = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 1 0^{2} = 4 π \cdot 100 = 400 π

S \approx 1256, 64 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen

Aufgabe: Ein Basketball hat einen Durchmesser von

d = 24 cm

. Berechne sein Volumen. Lösung:

Zuerst den Radius bestimmen: $r = \frac{d}{2} = 12 cm$ .

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1 2^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1728

V = \frac{6 912}{3} π = 2304 π

V \approx 7238, 23 cm^{3} \approx 7, 24 l

Beispiel 3 -- Radius aus dem Volumen bestimmen

Aufgabe: Ein kugelförmiger Ballon hat ein Volumen von

V = 5000 cm^{3}

. Wie groß ist sein Radius? Lösung:

Gehe von der Volumenformel aus und löse nach $r$ auf:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

r^{3} = \frac{3 V}{4 π} = \frac{3 \cdot 5 000}{4 π} = \frac{15 000}{4 π} = \frac{3 750}{π}

r^{3} \approx 1193, 66

r = 3 1193, 66

r \approx 10, 61 cm

Interessante Fakten über Kugeln

Optimale Form: Von allen Körpern mit einem gegebenen Volumen hat die Kugel die kleinste Oberfläche. Deshalb sind Seifenblasen kugelförmig -- die Natur minimiert die Oberflächenspannung.

Die Erde als Kugel: Die Erde ist annähernd kugelförmig mit einem mittleren Radius von etwa $6371 km$ . Ihre Oberfläche beträgt ungefähr $5, 1 \times 1 0^{8} km^{2}$ und ihr Volumen etwa $1, 08 \times 1 0^{12} km^{3}$ .

Entdeckung von Archimedes: Archimedes bewies, dass eine Kugel, die einem Zylinder einbeschrieben ist (gleicher Radius, Höhe $= 2 r$ ), genau $\frac{2}{3}$ des Zylindervolumens und $\frac{2}{3}$ seiner Gesamtoberfläche hat. Er betrachtete dies als seine größte Leistung.

Verdopplung des Radius: Wenn du den Radius einer Kugel verdoppelst, vervierfacht sich die Oberfläche (da $S \propto r^{2}$ ) und das Volumen verachtfacht sich (da $V \propto r^{3}$ ).

Formelübersicht

Größe	Formel
Oberfläche	$S = 4 π r^{2}$
Volumen	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Übungsaufgaben

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