Oberfläche und Volumen eines Kegels -- Formeln und Beispiele

Ein Kegel erinnert an einen Partyhut oder eine Eistüte. Er ist eng mit dem Zylinder verwandt -- das Volumen eines Kegels beträgt genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Kegel?
Wichtige Maße
Seitenhöhe
Netz eines Kegels
Grundfläche
Mantelfläche
Gesamtoberfläche
Volumen
Kegel vs. Zylinder -- die Ein-Drittel-Beziehung
Beispiel 1 -- Gesamtoberfläche
Beispiel 2 -- Volumen
Formelübersicht
Übungsaufgaben

Was ist ein Kegel?

Ein Kegel ist ein 3D-Körper mit:

Einer kreisförmigen Grundfläche
Einer gekrümmten Mantelfläche, die sich zu einem einzigen Punkt verengt -- der Spitze (Apex)
Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche (gerader Kreiskegel)

          ^            ^ = Spitze
         /|\
        / | \  s (Seitenhöhe)
       /  |h \
      /   |   \
     /    |    \
    /-----*-----\     * = Mittelpunkt
          r

Wichtige Maße

Symbol	Bedeutung
$r$	Radius der kreisförmigen Grundfläche
$h$	Höhe -- senkrechter Abstand von der Grundfläche zur Spitze
$s$	Seitenhöhe -- Abstand von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze, gemessen entlang der Oberfläche

Seitenhöhe

Der Radius $r$ , die Höhe $h$ und die Seitenhöhe $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck:

    Spitze
     |\
  h  |  \  s
     |    \
     |_____\
       r

Nach dem Satz des Pythagoras:

s = r^{2} + h^{2}

Berechne $s$ immer zuerst, wenn die Seitenhöhe nicht gegeben ist -- du brauchst sie für die Mantelfläche.

Netz eines Kegels

Wenn du einen Kegel "abrollst", erhältst du:

Einen Kreis (Radius $r$ ) -- die Grundfläche
Einen Kreissektor (Radius $s$ , Bogenlänge $2 π r$ ) -- die Mantelfläche

Der Mittelpunktswinkel des Sektors beträgt $θ = \frac{r}{s} \cdot 360°$ .

Grundfläche

Die Grundfläche ist ein Kreis:

S_{Grund} = π r^{2}

Mantelfläche

Die Mantelfläche ist, wenn man sie abrollt, ein Kreissektor mit dem Radius $s$ und der Bogenlänge $2 π r$ . Ihre Fläche beträgt:

S_{Mantel} = π r s

Diese elegante Formel ergibt sich aus $\frac{1}{2} \times Bogenl \overset{a}{¨} nge \times Radius des Sektors = \frac{1}{2} \cdot 2 π r \cdot s = π r s$ .

Gesamtoberfläche

Addiere Grundfläche und Mantelfläche:

S = π r^{2} + π r s

S = π r (r + s)

Vergleiche dies mit der Zylinderformel $S = 2 π r (r + h)$ . Beide haben eine ähnliche Struktur.

Volumen

Das Volumen eines Kegels beträgt:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Das ist genau $\frac{1}{3}$ des Volumens eines Zylinders mit gleichem Grundkreisradius und gleicher Höhe.

Kegel vs. Zylinder -- die Ein-Drittel-Beziehung

Wenn ein Zylinder und ein Kegel denselben Radius $r$ und dieselbe Höhe $h$ haben, dann gilt:

V_{Kegel} = \frac{1}{3} V_{Zylinder}

\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} h

Das bedeutet: Du müsstest den Kegel dreimal füllen und in den Zylinder schütten, um ihn vollständig zu füllen. Dieses Experiment lässt sich leicht mit Wasser und physischen Modellen durchführen.

Merkhilfe: Sowohl der Kegel als auch die Pyramide haben den Faktor $\frac{1}{3}$ in ihren Volumenformeln. Körper, die in einer Spitze zusammenlaufen, haben immer $\frac{1}{3}$ des entsprechenden Prismen- oder Zylindervolumens.

Beispiel 1 -- Gesamtoberfläche

Aufgabe: Ein Kegel hat den Radius

r = 7 cm

und die Höhe

h = 24 cm

. Berechne die Gesamtoberfläche. Schritt 1 -- Seitenhöhe berechnen:

s = r^{2} + h^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 25 cm

Schritt 2 -- Grundfläche:

S_{Grund} = π r^{2} = π \cdot 49 = 49 π cm^{2}

Schritt 3 -- Mantelfläche:

S_{Mantel} = π r s = π \cdot 7 \cdot 25 = 175 π cm^{2}

Schritt 4 -- Gesamtoberfläche:

S = 49 π + 175 π = 224 π

S \approx 703, 72 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen

Aufgabe: Ein kegelförmiger Behälter hat den Durchmesser

d = 20 cm

und die Seitenhöhe

s = 26 cm

. Wie viel Wasser fasst er (in Litern)? Schritt 1 -- Radius und Höhe bestimmen:

r = \frac{d}{2} = 10 cm

h = s^{2} - r^{2} = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 676 - 100 = 576 = 24 cm

Schritt 2 -- Volumen berechnen:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 100 \cdot 24 = \frac{2 400 π}{3} = 800 π

V \approx 2513, 27 cm^{3}

Schritt 3 -- In Liter umrechnen (

1 l = 1000 cm^{3}

V \approx 2, 51 l

Formelübersicht

Größe	Formel
Seitenhöhe	$s = r^{2} + h^{2}$
Grundfläche	$S_{Grund} = π r^{2}$
Mantelfläche	$S_{Mantel} = π r s$
Gesamtoberfläche	$S = π r (r + s)$
Volumen	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Übungsaufgaben

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