Oberflaeche und Volumen eines Kegels

Ein Kegel erinnert an einen Partyhut oder eine Eistuete. Er ist eng mit dem Zylinder verwandt -- das Volumen eines Kegels betraegt genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundflaeche und Hoehe.

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Kegel?
Wichtige Masse
Seitenhoehe
Netz eines Kegels
Grundflaeche
Mantelflaeche
Gesamtoberflaeche
Volumen
Kegel vs. Zylinder -- die Ein-Drittel-Beziehung
Beispiel 1 -- Gesamtoberflaeche
Beispiel 2 -- Volumen
Formeluebersicht
Uebungsaufgaben

Was ist ein Kegel?

Ein Kegel ist ein 3D-Koerper mit:

Einer kreisfoermigen Grundflaeche
Einer gekruemmten Mantelflaeche, die sich zu einem einzigen Punkt verengt -- der Spitze (Apex)
Die Spitze liegt senkrecht ueber dem Mittelpunkt der Grundflaeche (gerader Kreiskegel)

          ^            ^ = Spitze
         /|\
        / | \  s (Seitenhoehe)
       /  |h \
      /   |   \
     /    |    \
    /-----*-----\     * = Mittelpunkt
          r

Wichtige Masse

Symbol	Bedeutung
$r$	Radius der kreisfoermigen Grundflaeche
$h$	Hoehe -- senkrechter Abstand von der Grundflaeche zur Spitze
$s$	Seitenhoehe -- Abstand von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze, gemessen entlang der Oberflaeche

Seitenhoehe

Der Radius $r$ , die Hoehe $h$ und die Seitenhoehe $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck:

    Spitze
     |\
  h  |  \  s
     |    \
     |_____\
       r

Nach dem Satz des Pythagoras:

s = r^{2} + h^{2}

Berechne $s$ immer zuerst, wenn die Seitenhoehe nicht gegeben ist -- du brauchst sie fuer die Mantelflaeche.

Netz eines Kegels

Wenn du einen Kegel "abrollst", erhaeltst du:

Einen Kreis (Radius $r$ ) -- die Grundflaeche
Einen Kreissektor (Radius $s$ , Bogenlaenge $2 π r$ ) -- die Mantelflaeche

Der Mittelpunktswinkel des Sektors betraegt $θ = \frac{r}{s} \cdot 360°$ .

Grundflaeche

Die Grundflaeche ist ein Kreis:

S_{Grund} = π r^{2}

Mantelflaeche

Die Mantelflaeche ist, wenn man sie abrollt, ein Kreissektor mit dem Radius $s$ und der Bogenlaenge $2 π r$ . Ihre Flaeche betraegt:

S_{Mantel} = π r s

Diese elegante Formel ergibt sich aus $\frac{1}{2} \times Bogenlaenge \times Radius des Sektors = \frac{1}{2} \cdot 2 π r \cdot s = π r s$ .

Gesamtoberflaeche

Addiere Grundflaeche und Mantelflaeche:

S = π r^{2} + π r s

S = π r (r + s)

Vergleiche dies mit der Zylinderformel $S = 2 π r (r + h)$ . Beide haben eine aehnliche Struktur.

Volumen

Das Volumen eines Kegels betraegt:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Das ist genau $\frac{1}{3}$ des Volumens eines Zylinders mit gleichem Grundkreisradius und gleicher Hoehe.

Kegel vs. Zylinder -- die Ein-Drittel-Beziehung

Wenn ein Zylinder und ein Kegel denselben Radius $r$ und dieselbe Hoehe $h$ haben, dann gilt:

V_{Kegel} = \frac{1}{3} V_{Zylinder}

\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} h

Das bedeutet: Du muestest den Kegel dreimal fuellen und in den Zylinder schuetten, um ihn vollstaendig zu fuellen. Dieses Experiment laesst sich leicht mit Wasser und physischen Modellen durchfuehren.

Merkhilfe: Sowohl der Kegel als auch die Pyramide haben den Faktor $\frac{1}{3}$ in ihren Volumenformeln. Koerper, die in einer Spitze zusammenlaufen, haben immer $\frac{1}{3}$ des entsprechenden Prismen- oder Zylindervolumens.

Beispiel 1 -- Gesamtoberflaeche

Aufgabe: Ein Kegel hat den Radius

r = 7 cm

und die Hoehe

h = 24 cm

. Berechne die Gesamtoberflaeche. Schritt 1 -- Seitenhoehe berechnen:

s = r^{2} + h^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 25 cm

Schritt 2 -- Grundflaeche:

S_{Grund} = π r^{2} = π \cdot 49 = 49 π cm^{2}

Schritt 3 -- Mantelflaeche:

S_{Mantel} = π r s = π \cdot 7 \cdot 25 = 175 π cm^{2}

Schritt 4 -- Gesamtoberflaeche:

S = 49 π + 175 π = 224 π

S \approx 703, 72 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen

Aufgabe: Ein kegelfoermiger Behaelter hat den Durchmesser

d = 20 cm

und die Seitenhoehe

s = 26 cm

. Wie viel Wasser fasst er (in Litern)? Schritt 1 -- Radius und Hoehe bestimmen:

r = \frac{d}{2} = 10 cm

h = s^{2} - r^{2} = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 676 - 100 = 576 = 24 cm

Schritt 2 -- Volumen berechnen:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 100 \cdot 24 = \frac{2 400 π}{3} = 800 π

V \approx 2513, 27 cm^{3}

Schritt 3 -- In Liter umrechnen (

1 l = 1000 cm^{3}

V \approx 2, 51 l

Formeluebersicht

Groesse	Formel
Seitenhoehe	$s = r^{2} + h^{2}$
Grundflaeche	$S_{Grund} = π r^{2}$
Mantelflaeche	$S_{Mantel} = π r s$
Gesamtoberflaeche	$S = π r (r + s)$
Volumen	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Uebungsaufgaben

Teste dein Wissen:

Oberflaeche und Volumen eines Kegels -- Formeln und Beispiele