Oberflaeche und Volumen eines Zylinders

Der Zylinder ist einer der haeufigsten 3D-Koerper -- denke an Dosen, Rohre und Saeulen. In diesem Artikel lernst du alle Formeln, die du brauchst, und arbeitest drei vollstaendige Beispiele durch.

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Zylinder?
Wichtige Masse
Netz eines Zylinders
Grundflaeche
Mantelflaeche
Gesamtoberflaeche
Volumen
Beispiel 1 -- Gesamtoberflaeche
Beispiel 2 -- Volumen
Beispiel 3 -- Radius gesucht
Formeluebersicht
Uebungsaufgaben

Was ist ein Zylinder?

Ein Zylinder ist ein 3D-Koerper mit:

Zwei parallelen kreisfoermigen Grundflaechen gleicher Groesse
Einer gekruemmten Mantelflaeche, die die beiden Grundflaechen verbindet

Die Grundflaechen sind stets kongruente Kreise, und die Mantelflaeche umhuellt sie wie das Etikett einer Dose.

Wichtige Masse

Jeder Zylinder wird durch zwei Masse beschrieben:

Radius $r$ -- der Radius jeder kreisfoermigen Grundflaeche
Hoehe $h$ -- der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundflaechen

```

+---------------+

/ r \

/ --------- \ = Mittelpunkt

| |

| h |

| |

\ /

+---------------+

```

Der Durchmesser ist $d = 2 r$ . Wenn in einer Aufgabe der Durchmesser gegeben ist, vergiss nicht, ihn zu halbieren, um $r$ zu erhalten.

Netz eines Zylinders

Wenn du einen Zylinder "abrollst" und flach hinlegst, erhaeltst du sein Netz:

Zwei Kreise (obere und untere Grundflaeche)
Ein Rechteck, dessen Breite dem Umfang der Grundflaeche ( $2 π r$ ) und dessen Hoehe $h$ entspricht

```

+---- 2pir ----+

| |

h | (Rechteck) |

| |

+--------- -------+

O (Kreis, Radius r) -- obere Grundflaeche

O (Kreis, Radius r) -- untere Grundflaeche

```

Das Netz macht es leicht zu verstehen, woher jeder Teil der Oberflaechenformel kommt.

Grundflaeche

Jede Grundflaeche ist ein Kreis mit Radius $r$ :

S_{Grund} = π r^{2}

Da ein Zylinder zwei Grundflaechen hat, betraegt die gesamte Grundflaeche:

2 S_{Grund} = 2 π r^{2}

Mantelflaeche

Die Mantelflaeche ist, wenn man sie abrollt, ein Rechteck mit der Breite $2 π r$ und der Hoehe $h$ :

S_{Mantel} = 2 π r h

Das ist die Flaeche des "Etiketts", das um den Zylinder gewickelt ist.

Gesamtoberflaeche

Die Gesamtoberflaeche ist die Summe beider Grundflaechen und der Mantelflaeche:

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Diese Formel laesst sich elegant ausklammern:

S = 2 π r (r + h)

Verwende $S = 2 π r (r + h)$ als deine Standardformel fuer die Gesamtoberflaeche eines Zylinders.

Volumen

Das Volumen eines Zylinders ergibt sich aus der Grundflaeche mal der Hoehe:

V = π r^{2} h

Das ist anschaulich klar: Du "stapelst" Kreise mit der Flaeche $π r^{2}$ bis zur Hoehe $h$ .

Beispiel 1 -- Gesamtoberflaeche

Aufgabe: Ein Zylinder hat den Radius

r = 5 cm

und die Hoehe

h = 12 cm

. Berechne seine Gesamtoberflaeche. Loesung:

S = 2 π r (r + h)

S = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 12)

S = 2 π \cdot 5 \cdot 17

S = 170 π

S \approx 534, 07 cm^{2}

Beispiel 2 -- Volumen

Aufgabe: Ein zylindrischer Wassertank hat den Durchmesser

d = 1, 2 m

und die Hoehe

h = 2 m

. Wie viele Liter Wasser kann er fassen? Loesung:

Zuerst den Radius bestimmen: $r = \frac{d}{2} = \frac{1 , 2}{2} = 0, 6 m$ .

V = π r^{2} h = π \cdot 0, 6^{2} \cdot 2 = π \cdot 0, 36 \cdot 2 = 0, 72 π

V \approx 2, 262 m^{3}

Umrechnung in Liter ( $1 m^{3} = 1000 l$ ):

V \approx 2262 l

Der Tank kann ungefaehr 2 262 Liter Wasser fassen.

Beispiel 3 -- Radius gesucht

Aufgabe: Ein Zylinder hat das Volumen

V = 1000 cm^{3}

und die Hoehe

h = 8 cm

. Berechne den Radius. Loesung:

Gehe von der Volumenformel aus und loese nach $r$ auf:

V = π r^{2} h

r^{2} = \frac{V}{π h} = \frac{1 000}{π \cdot 8} = \frac{1 000}{8 π} = \frac{125}{π}

r = \frac{125}{π} \approx 39, 79

r \approx 6, 31 cm

Formeluebersicht

Groesse	Formel
Grundflaeche	$S_{Grund} = π r^{2}$
Mantelflaeche	$S_{Mantel} = 2 π r h$
Gesamtoberflaeche	$S = 2 π r (r + h)$
Volumen	$V = π r^{2} h$

Uebungsaufgaben

Teste dein Wissen:

Oberflaeche und Volumen eines Zylinders -- Formeln und Beispiele

Oberflaeche und Volumen eines Zylinders

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Zylinder?

Wichtige Masse

Netz eines Zylinders

Grundflaeche

Mantelflaeche

Gesamtoberflaeche

Volumen

Beispiel 1 -- Gesamtoberflaeche

Beispiel 2 -- Volumen

Beispiel 3 -- Radius gesucht

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