Oberfläche und Volumen eines Zylinders -- Formeln und Beispiele

Der Zylinder ist einer der häufigsten 3D-Körper -- denke an Dosen, Rohre und Säulen. In diesem Artikel lernst du alle Formeln, die du brauchst, und arbeitest drei vollständige Beispiele durch.

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Inhaltsverzeichnis

• Was ist ein Zylinder?
• Wichtige Maße
• Netz eines Zylinders
• Grundfläche
• Mantelfläche
• Gesamtoberfläche
• Volumen
• Beispiel 1 -- Gesamtoberfläche
• Beispiel 2 -- Volumen
• Beispiel 3 -- Radius gesucht
• Formelübersicht
• Übungsaufgaben

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Was ist ein Zylinder?

Ein Zylinder ist ein 3D-Körper mit:

• Zwei parallelen kreisförmigen Grundflächen gleicher Größe
• Einer gekrümmten Mantelfläche, die die beiden Grundflächen verbindet

Die Grundflächen sind stets kongruente Kreise, und die Mantelfläche umhüllt sie wie das Etikett einer Dose.

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Wichtige Maße

Jeder Zylinder wird durch zwei Maße beschrieben:

• Radius $r$ -- der Radius jeder kreisförmigen Grundfläche
• Höhe $h$ -- der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundflächen

      +---------------+
     /       r         \
    /    *---------      \      * = Mittelpunkt
   |                      |
   |         h            |
   |                      |
    \                    /
     \                 /
      +---------------+

Der Durchmesser ist $d=2r$. Wenn in einer Aufgabe der Durchmesser gegeben ist, vergiss nicht, ihn zu halbieren, um $r$ zu erhalten.

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Netz eines Zylinders

Wenn du einen Zylinder "abrollst" und flach hinlegst, erhältst du sein Netz:

• Zwei Kreise (obere und untere Grundfläche)
• Ein Rechteck, dessen Breite dem Umfang der Grundfläche ($2\pi r$) und dessen Höhe $h$ entspricht

    +---- 2*pi*r ----+
    |                 |
  h |   (Rechteck)    |
    |                 |
    +--------- -------+

       O  (Kreis, Radius r)  -- obere Grundfläche
       O  (Kreis, Radius r)  -- untere Grundfläche

Das Netz macht es leicht zu verstehen, woher jeder Teil der Oberflächenformel kommt.

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Grundfläche

Jede Grundfläche ist ein Kreis mit Radius $r$:

Da ein Zylinder zwei Grundflächen hat, beträgt die gesamte Grundfläche:

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Mantelfläche

Die Mantelfläche ist, wenn man sie abrollt, ein Rechteck mit der Breite $2\pi r$ und der Höhe $h$:

Das ist die Fläche des "Etiketts", das um den Zylinder gewickelt ist.

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Gesamtoberfläche

Die Gesamtoberfläche ist die Summe beider Grundflächen und der Mantelfläche:

Diese Formel lässt sich elegant ausklammern:

Verwende $S=2\pi r(r+h)$ als deine Standardformel für die Gesamtoberfläche eines Zylinders.

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Volumen

Das Volumen eines Zylinders ergibt sich aus der Grundfläche mal der Höhe:

Das ist anschaulich klar: Du "stapelst" Kreise mit der Fläche $\pi r^2$ bis zur Höhe $h$.

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Beispiel 1 -- Gesamtoberfläche

Aufgabe: Ein Zylinder hat den Radius $r=5\text{cm}$ und die Höhe $h=12\text{cm}$. Berechne seine Gesamtoberfläche. Lösung:

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Beispiel 2 -- Volumen

Aufgabe: Ein zylindrischer Wassertank hat den Durchmesser $d=1,2\text{m}$ und die Höhe $h=2\text{m}$. Wie viele Liter Wasser kann er fassen? Lösung:

Zuerst den Radius bestimmen: $r=\frac{d}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6\text{m}$.

Umrechnung in Liter ($1{\text{m}}^3=1000\text{l}$):

Der Tank kann ungefähr 2 262 Liter Wasser fassen.

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Beispiel 3 -- Radius gesucht

Aufgabe: Ein Zylinder hat das Volumen $V=1000{\text{cm}}^3$ und die Höhe $h=8\text{cm}$. Berechne den Radius. Lösung:

Gehe von der Volumenformel aus und löse nach $r$ auf:

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Formelübersicht

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Übungsaufgaben

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