Třetí mocnina dvojčlenu: Rozšířené vzorce

Obsah článku

1. Vzorec pro (a + b)³
2. Proč vzorec funguje
3. Příklady
4. Vzorec pro (a - b)³
5. Časté chyby
6. Interaktívne cvičenia

---

1. Vzorec pro (a + b)³ {#vzorec-soucet}

Třetí mocnina součtu dvou členů:

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Pascalův trojúhelník

Mocnina	Koeficienty
$(a+b{)}^0$	$1$
$(a+b{)}^1$	$1,1$
$(a+b{)}^2$	$1,2,1$
$(a+b{)}^3$	$1,3,3,1$

---

2. Proč vzorec funguje {#proc-funguje}

$$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$

Nebo: $(a+b{)}^3=(a+b)(a+b{)}^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$$
$$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

---

3. Příklady {#priklady}

Příklad 1: Číselný

$$(2+3{)}^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 3+3\cdot 2\cdot 3^2+3^3$$
$$=8+36+54+27=125$$

A skutečně: $5^3=125$ ✓

Příklad 2: Proměnné

$$(x+2{)}^3=x^3+3x^2(2)+3x(2^2)+2^3$$
$$=x^3+6x^2+12x+8$$

Příklad 3: Dvě proměnné

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Příklad 4: $(x+1{)}^3$

$$(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$$

---

4. Vzorec pro (a - b)³ {#vzorec-rozdil}

Třetí mocnina rozdílu:

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Znaménka střídají: $+-+-$

Příklad

$$(x-2{)}^3=x^3-3x^2(2)+3x(2^2)-2^3$$
$$=x^3-6x^2+12x-8$$

---

5. Časté chyby {#caste-chyby}

❌ Chyba 1: Špatné koeficienty

$$(a+b{)}^3\ne a^3+b^3$$

Chybí prostřední členy $3a^{2}b+3a{b}^2$!

❌ Chyba 2: Záměna znamének

$$(a-b{)}^3=a^3-b^3\text{(CHYBNEˇ!)}$$
$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\text{(SPRAˊVNEˇ)}$$

---

6. Interaktívne cvičenia {#interaktívne-cvičenia}

Procvič si třetí mocninu:

• Třetí mocnina dvojčlenu
• Doplnění na čtverec
• Roznásobování

---

Shrnutí vzorců

Vzorec	Tvar
$(a+b{)}^3$	$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3$	$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Součet kostek	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Rozdíl kostek	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

---

Související články

• Doplňování na čtverec – $(\text{cˇıˊslo}{)}^2$
• Rozdíl čtverců – $(\text{cˇıˊslo}{)}^2-(\text{jineˊ cˇıˊslo}{)}^2$
• Úvod do algebry – základy