Doplňování na čtverec: Kompletní metoda

Obsah článku

1. Co je doplnění na čtverec
2. Základní postup
3. Odvození vzorce
4. Příklady
5. Kvadratické rovnice
6. Interaktívne cvičenia

---

1. Co je doplnění na čtverec {#co-je-doplneni}

Doplnění na čtverec je technika, která převádí kvadratický výraz na tvar $(x+p{)}^2+q$.

Například:

$$x^2+6x+5=(x+3{)}^2-4$$

Proč je to užitečné?

• Řešení kvadratických rovnic
• Hledání vrcholu paraboly
• Integrace (později v matematice)

---

2. Základní postup {#zakladni-postup}

Pro výraz $x^2+bx$:

1. Koeficient u $x$ je $b$
2. Polovina $b$ je $\frac{b}{2}$
3. $(\frac{b}{2}{)}^2$ přidáme a odečteme
$$x^2+bx=x^2+bx+(\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2=(x+\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2$$

---

3. Odvození vzorce {#odvozeni}

Příklad $x^2+6x$

Koeficient $b=6$

$$\frac{b}{2}=3,(\frac{b}{2}{)}^2=9$$
$$x^2+6x+9-9=(x+3{)}^2-9$$

---

4. Příklady {#priklady}

Příklad 1: $x^2+4x+1$

$$x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-4+1=(x+2{)}^2-3$$

Příklad 2: $x^2-8x+5$

$$x^2-8x+5=(x^2-8x+16)-16+5=(x-4{)}^2-11$$

Příklad 3: $2x^2+8x+3$

Nejprve vytkneme 2:

$$2(x^2+4x)+3=2[(x^2+4x+4)-4]+3=2(x+2{)}^2-8+3=2(x+2{)}^2-5$$

---

5. Kvadratické rovnice {#kvadraticke-rovnice}

Řešení rovnice $x^2+6x+5=0$

Doplněním na čtverec:

$$x^2+6x+9=-5+9$$
$$(x+3{)}^2=4$$
$$x+3=\pm 2$$
$$x=-1\text{nebo}x=-5$$

---

6. Interaktívne cvičenia {#interaktívne-cvičenia}

Procvič si doplňování na čtverec:

• Doplnění na čtverec
• Rozdíl čtverců
• Roznásobování

---

Shrnutí

Výraz	Doplněný tvar
$x^2+bx$	$(x+\frac{b}{2}{)}^2-(\frac{b}{2}{)}^2$
$x^2+6x+5$	$(x+3{)}^2-4$
$x^2-8x+5$	$(x-4{)}^2-11$

---

Související články

• Rozdíl čtverců – příbuzná technika
• Úvod do algebry – základy
• Třetí mocnina dvojčlenu – pokročilé vzorce