Doplňování na čtverec

Obsah článku

Co je doplnění na čtverec
Základní postup
Odvození vzorce
Příklady
Kvadratické rovnice
Interaktívne cvičenia

1. Co je doplnění na čtverec {#co-je-doplneni}

Doplnění na čtverec je technika, která převádí kvadratický výraz na tvar

(x + p)^{2} + q

.

Například:

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

Proč je to užitečné?

Řešení kvadratických rovnic
Hledání vrcholu paraboly
Integrace (později v matematice)

2. Základní postup {#zakladni-postup}

Pro výraz $x^{2} + b x$ :

Koeficient u $x$ je $b$
Polovina $b$ je $\frac{b}{2}$
$(\frac{b}{2})^{2}$ přidáme a odečteme

x^{2} + b x = x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

3. Odvození vzorce {#odvozeni}

Příklad $x^{2} + 6 x$

Koeficient $b = 6$

\frac{b}{2} = 3, (\frac{b}{2})^{2} = 9

x^{2} + 6 x + 9 - 9 = (x + 3)^{2} - 9

4. Příklady {#priklady}

Příklad 1: $x^{2} + 4 x + 1$

x^{2} + 4 x + 1 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3

Příklad 2: $x^{2} - 8 x + 5$

x^{2} - 8 x + 5 = (x^{2} - 8 x + 16) - 16 + 5 = (x - 4)^{2} - 11

Příklad 3: $2 x^{2} + 8 x + 3$

Nejprve vytkneme 2:

2 (x^{2} + 4 x) + 3 = 2 [(x^{2} + 4 x + 4) - 4] + 3 = 2 (x + 2)^{2} - 8 + 3 = 2 (x + 2)^{2} - 5

5. Kvadratické rovnice {#kvadraticke-rovnice}

Řešení rovnice $x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Doplněním na čtverec:

x^{2} + 6 x + 9 = - 5 + 9

(x + 3)^{2} = 4

x + 3 = \pm 2

x = - 1 nebo x = - 5

6. Interaktívne cvičenia {#interaktívne-cvičenia}

Procvič si doplňování na čtverec:

Shrnutí

Výraz	Doplněný tvar
$x^{2} + b x$	$(x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}$
$x^{2} + 6 x + 5$	$(x + 3)^{2} - 4$
$x^{2} - 8 x + 5$	$(x - 4)^{2} - 11$

Související články

Rozdíl čtverců – příbuzná technika
Úvod do algebry – základy
Třetí mocnina dvojčlenu – pokročilé vzorce