Rozdíl čtverců: Užitečný vzorec

Obsah článku

1. Vzorec rozdílu čtverců
2. Proč vzorec funguje
3. Příklady rozkladu
4. Příklady výpočtů
5. Časté chyby
6. Interaktívne cvičenia

---

1. Vzorec rozdílu čtverců {#vzorec}

Rozdíl čtverců je výraz tvaru $a^2-b^2$, kde $a$ a $b$ mohou být čísla nebo proměnné.

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Rozklad na součin

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

Ověření: $(x+3)(x-3)=x^2-3x+3x-9=x^2-9$ ✓

---

2. Proč vzorec funguje {#proc-funguje}

Dosazením do FOIL metody:

$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$

Členy $-ab$ a $+ab$ se vyruší!

---

3. Příklady rozkladu {#priklady-rozkladu}

Číselný rozklad

$$25-16=5^2-4^2=(5+4)(5-4)=9\cdot 1=9$$

Proměnné

$$x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$$

Složitější

$$4x^2-9y^2=(2x{)}^2-(3y{)}^2=(2x+3y)(2x-3y)$$

S konstantou

$$2x^2-18=2(x^2-9)=2(x+3)(x-3)$$

---

4. Příklady výpočtů {#priklady-vypoctu}

Rychlý výpočet

$$53^2-47^2=(53+47)(53-47)=100\cdot 6=600$$

S komplexními čísly

$$(x+1{)}^2-4=((x+1)+2)((x+1)-2)=(x+3)(x-1)$$

---

5. Časté chyby {#caste-chyby}

❌ Chyba 1: Součet místo rozdílu

$$x^2+9\ne (x+3)(x+3)$$

Součet čtverců nelze takto rozložit!

$$x^2+9=(x+3i)(x-3i)$$
(komplexní čísla)

❌ Chyba 2: Špatná odmocnina

$$x^2-7\ne (x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})$$

Ale toto je SPRÁVNĚ! Zapomíná se, že $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$.

Správně: $x^2-7=(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})$

---

6. Interaktívne cvičenia {#interaktívne-cvičenia}

Procvič si rozdíl čtverců:

• Rozdíl čtverců
• Roznásobování
• Vytýkání

---

Shrnutí vzorců

Vzorec	Tvar
Rozdíl čtverců	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Součet čtverců	Nelze rozložit (bez komplexních čísel)
Čtverec dvojčlenu	$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

---

Související články

• Úvod do algebry – základní pojmy
• Roznásobování – FOIL metoda
• Doplňování na čtverec – pokročilá technika