Princíp násobenia pod seba

Násobenie pod seba nie je len recept, ktorý sa naučíš naspamäť. Stojí na jednoduchej myšlienke, ktorú už poznáš – na miestnych hodnotách čísel – a na distributívnom zákone (rozkladaní násobenia na sčítanie).

Rozdelenie dolného činiteľa

Keď násobíš číslom $56$ , môžeš ho rozdeliť podľa miestnych hodnôt:

56 = 50 + 6

Z distributívneho zákona vyplýva, že násobiť ľubovoľné číslo $A$ číslom $56$ je to isté ako:

A \times 56 = A \times 50 + A \times 6

Inými slovami: na každú číslicu dolného činiteľa pripadá jeden medzivýsledok. Pri dvojcifernom činiteli máš dva medzivýsledky, pri trojcifernom tri, pri štvorcifernom štyri.

Prečo medzivýsledky posúvame?

Pozri si druhý medzivýsledok, $A \times 50$ . Násobiť päťdesiatimi je to isté ako násobiť päťkou a potom desiatkou:

A \times 50 = (A \times 5) \times 10

Násobenie desiatkou posunie každú číslicu o jednu pozíciu doľava (a vpravo pribudne nula). V zápise pod seba šetríme miestom – nulu nepíšeme, len posunieme medzivýsledok o jedno pole doľava. Vizuálne ide o ten istý posun.

Pre trojciferný činiteľ:

A \times 234 = A \times 200 + A \times 30 + A \times 4

$A \times 4$ ostáva na svojom mieste.
$A \times 30 = (A \times 3) \times 10$ → posun o jedno pole doľava.
$A \times 200 = (A \times 2) \times 100$ → posun o dve polia doľava.

Každá číslica dolného činiteľa, ktorá je o jedno miesto naľavo, sa premieta do o jedno pole väčšieho posunu.

Prečo môže byť medzivýsledok o číslicu dlhší

Štvorciferné číslo násobené jednou číslicou dáva výsledok až o jednu číslicu dlhší. Napríklad:

9999 \times 9 = 89991

Preto musí byť pole pre medzivýsledok o jednu číslicu širšie ako horný činiteľ – pre prípadný zostatok z násobenia. Náš generátor cvičení to robí automaticky: polia pre medzivýsledky majú vždy o jedno pole viac, než má horný činiteľ číslic.

Posledný krok: sčítanie

Keď máš všetky medzivýsledky správne posunuté, jednoducho ich pod sebou sčítaš stĺpec po stĺpci. Výsledok má najviac $\overset{c}{ˇ} \overset{ı}{ˊ} slic(horn \overset{y}{ˊ}) + \overset{c}{ˇ} \overset{ı}{ˊ} slic(doln \overset{y}{ˊ})$ číslic.

Napríklad $9999 \times 9999 = 99980001$ – to je 8 číslic, presne ako sa očakáva (4 + 4).

Zhrnutie

Pre súčin $A \times B$ , kde $B$ má $n$ číslic $b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}$ :

Vypočítaj $n$ medzivýsledkov: $A \times b_{0}, A \times b_{1}, \dots, A \times b_{n - 1}$ .
$i$ -ty medzivýsledok posuň o $i$ pozícií doľava.
Všetky medzivýsledky sčítaj.

To je celý algoritmus – a teraz vieš, prečo funguje.

Čítaj ďalej

Precvič

Násobenie pod seba viacciferným číslom