Tretia mocnina dvojčlena: Kompletný sprievodca

V tomto článku sa naučíš vzorec pre tretiu mocninu dvojčlena a jeho praktické použitie.

Obsah článku

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Rovnako:

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)

Najprv vynásobíme prvé dve zátvorky:

(a + b) (a + b) = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Potom vynásobíme výsledok treťou zátvorkou:

(a^{2} + 2 ab + b^{2}) (a + b) = a^{3} + a^{2} b + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + a b^{2} + b^{3}

= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(x + 2)^{3}

Výsledok:

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

(2 x - 1)^{3}

Výsledok:

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

(x + 3)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 9 + 27 = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

Pre mocniny dvojčlena môžeme použiť Pascalov trojuholník:

        1        ← (a + b)⁰
       1 1       ← (a + b)¹
      1 2 1      ← (a + b)²
     1 3 3 1     ← (a + b)³
    1 4 6 4 1    ← (a + b)⁴

Čísla v riadku $n$ sú koeficienty pre $(a + b)^{n}$ .

❌ Chyba: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 8$ (zabúda sa na stredné členy)

✅ Správne: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

❌ Chyba: $(x - 1)^{3} = x^{3} - 1$ (zabúda sa na všetky členy okrem prvého a posledného)

✅ Správne: $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

👉 Precvič si tretiu mocninu dvojčlena s generátorom príkladov: Tretia mocnina dvojčlena

📚 Ďalšie články:
Algebraické výrazy – úvod
Roznásobovanie zátvoriek
Vynímanie pred zátvorku
Rozdiel štvorcov
Doplnenie na štvorec