Doplnenie na štvorec: Kompletný sprievodca

Doplnenie na štvorec je technika, ktorou prevedieme kvadratický výraz do "klasického" tvaru $(x+p{)}^2+q$.

---

Obsah článku

• Čo je doplnenie na štvorec
• Kedy sa používa
• Postup krok za krokom
• Príklady
• S complete square vzorec
• Precvičovanie

---

Čo je doplnenie na štvorec

Doplnenie na štvorec znamená pretransformovať kvadratický výraz $a{x}^2+bx+c$ do tvaru:

Príklad:

> 💡 Výraz $(x+3{)}^2$ je "štvorec", preto sa táto technika volá "doplnenie na štvorec".

---

Kedy sa používa

Doplnenie na štvorec sa používa pri:

• Riešení kvadratických rovníc – namiesto vzorca
• Kreslení grafov paraboly – určenie vrcholu
• Úprave kvadratických funkcií – do kanonického tvaru

---

Postup krok za krokom

Mame výraz: $x^2+6x+5$

Krok 1: Oddel x² a x člen

Krok 2: Pridaj a odčítaj člen potrebný na doplnenie

Koeficient pri $x$ je $6$. Polovica je $3$. Umocníme: $3^2=9$.

Krok 3: Vytvor štvorec z prvých troch členov

---

Príklady

Príklad 1: Základný

1. $b=4$, polovica = $2$, $2^2=4$
2. $x^2+4x+4-4+1$
3. $(x+2{)}^2-3$

Overenie: $(x+2{)}^2-3=x^2+4x+4-3=x^2+4x+1$ ✓

Príklad 2: Záporný koeficient

$$x^2-10x+3$$
1. $b=-10$, polovica = $-5$, $(-5{)}^2=25$
2. $x^2-10x+25-25+3$
3. $(x-5{)}^2-22$

Príklad 3: S koeficientom pri x²

$$2x^2+12x+7$$
1. Najprv vytkni $2$: $2(x^2+6x)+7$
2. Dopni na štvorec v zátvorke: $x^2+6x+9-9$
3. $2[(x+3{)}^2-9]+7=2(x+3{)}^2-18+7=2(x+3{)}^2-11$

---

Vzorec pre doplnenie na štvorec

Pre výraz $a{x}^2+bx+c$:

1. $p=\frac{b}{2a}$
2. $q=c-a{p}^2$
3. Výsledok: $a(x+p{)}^2+q$

---

Precvičovanie

> 👉 Precvič si doplnenie na štvorec s generátorom príkladov: Doplnenie na štvorec

---

> 📚 Ďalšie články:

> - Algebraické výrazy – úvod

> - Roznásobovanie zátvoriek

> - Vynímanie pred zátvorku

> - Rozdiel štvorcov