Razón (coeficiente) de semejanza

Contenido

• Qué es la razón de semejanza
• Cómo calcular la razón de semejanza
• Qué nos indica el valor de k
• Efecto sobre el área y el volumen
• Ejemplos
• Artículos relacionados

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Qué es la razón de semejanza

Si dos triángulos $ABC$ y $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son semejantes ($△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$), entonces existe un número positivo $k$ para el que se cumple:

Este número $k$ se denomina razón de semejanza (o coeficiente de semejanza). Expresa cuántas veces son mayores (o menores) los lados de un triángulo respecto de los del otro.

💡 Recuerda: La razón de semejanza es siempre un número positivo ($k>0$).

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Cómo calcular la razón de semejanza

La razón de semejanza se obtiene dividiendo los lados correspondientes:

Paso a paso:

• Identifica qué lados se corresponden (los que están opuestos a ángulos iguales)
• Divide cualquier par de lados correspondientes
• Comprueba que la razón es la misma para los tres pares

Ejemplo: $△ABC$: $a=4$, $b=6$, $c=8$ y $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$, $b^{\prime }=9$, $c^{\prime }=12$

Comprobación: $\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{9}{6}=1,5$ ✓ y $\frac{c^{\prime }}{c}=\frac{12}{8}=1,5$ ✓

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Qué nos indica el valor de k

• $k>1$ – el segundo triángulo es mayor que el primero (ampliación)
• $k<1$ – el segundo triángulo es menor que el primero (reducción)
• $k=1$ – los triángulos son congruentes (del mismo tamaño) – la semejanza es un caso particular de la congruencia

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Efecto sobre el área y el volumen

El coeficiente de semejanza afecta también al área y al volumen de las figuras:

• La razón de las áreas de figuras semejantes es $k^2$
• La razón de los volúmenes de cuerpos semejantes es $k^3$

Ejemplo: Si $k=2$, entonces:

• Los lados son $2\times$ mayores
• El área es $2^2=4\times$ mayor
• El volumen es $2^3=8\times$ mayor

⚠️ Cuidado: Un error frecuente es confundir la razón de los lados con la razón de las áreas. Si los lados son $2\times$ mayores, el área no es $2\times$, sino $4\times$ mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1: El triángulo $ABC$ tiene lados $a=5$ cm, $b=7$ cm, $c=9$ cm. El triángulo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ tiene lados $a^{\prime }=15$ cm, $b^{\prime }=21$ cm, $c^{\prime }=27$ cm. Calcula $k$.

El triángulo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ es $3\times$ mayor.

Ejemplo 2: Los triángulos $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $a=12$ cm, $a^{\prime }=8$ cm. ¿Cuánto vale $k$?

El triángulo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ es menor.

Ejemplo 3: Los triángulos $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $k=2,5$, $b=6$ cm. ¿Cuánto mide $b^{\prime }$?

👉 Más ejemplos: Ejemplos resueltos de semejanza de triángulos

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Practica

• 🔢 Razón de semejanza: Cálculo de la razón de semejanza
• 📐 Lados desconocidos: Cálculo de un lado desconocido
• 🔍 Criterios de semejanza: Identificación del criterio de semejanza
• 🧮 Ejercicios variados: Ejercicios variados de semejanza