Criterios de semejanza de triángulos – LLL, LAL, AA

Para demostrar que dos triángulos son semejantes no es necesario medir todos sus lados y ángulos. Basta con verificar una de las tres condiciones, denominadas criterios de semejanza.

Contenido

• Criterio LLL (Lado – Lado – Lado)
• Criterio LAL (Lado – Ángulo – Lado)
• Criterio AA (Ángulo – Ángulo)
• Comparación de los criterios
• Cuándo usar cada criterio
• Artículos relacionados

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Criterio LLL (Lado – Lado – Lado)

Dos triángulos son semejantes si las razones de los tres pares de lados correspondientes son iguales.

Expresado matemáticamente: los triángulos $ABC$ y $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son semejantes si:

Ejemplo: $△ABC$: $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=5$ cm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$ cm, $b^{\prime }=8$ cm, $c^{\prime }=10$ cm

Comprobación:

Todas las razones son iguales ($k=2$), por lo que $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ según el criterio LLL. ✓

⚠️ Cuidado: En el criterio LLL debemos comparar los lados correspondientes: el más corto con el más corto, el más largo con el más largo.

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Criterio LAL (Lado – Ángulo – Lado)

Dos triángulos son semejantes si las razones de dos pares de lados correspondientes son iguales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

Expresado matemáticamente: los triángulos $ABC$ y $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son semejantes si:

donde $\gamma$ y ${\gamma }^{\prime }$ son los ángulos comprendidos entre los lados $a$, $b$ y $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ respectivamente.

Ejemplo: $△ABC$: $a=4$ cm, $b=6$ cm, $\gamma =60°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=8$ cm, $b^{\prime }=12$ cm, ${\gamma }^{\prime }=60°$

Comprobación:

Las razones son iguales ($k=2$) y los ángulos comprendidos son iguales ($60°=60°$), por lo que $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ según el criterio LAL. ✓

⚠️ Cuidado: El ángulo debe ser el comprendido exactamente entre los dos lados cuyas razones estamos verificando.

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Criterio AA (Ángulo – Ángulo)

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro triángulo.

El tercer ángulo coincide automáticamente, ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre $180°$:

Si conocemos dos ángulos, el tercero queda determinado de forma única.

Ejemplo: $△ABC$: $\alpha =50°$, $\beta =70°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: ${\alpha }^{\prime }=50°$, ${\beta }^{\prime }=70°$

Terceros ángulos: $\gamma =180°-50°-70°=60°$ y ${\gamma }^{\prime }=180°-50°-70°=60°$

Todos los ángulos coinciden, por lo que $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ según el criterio AA. ✓

💡 Consejo: El criterio AA es el más utilizado, ya que para verificarlo basta con conocer los ángulos, sin necesidad de medir lados.

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Comparación de los criterios

• Criterio LLL – necesitamos conocer los 6 lados (3 lados de cada triángulo) y comprobar que las razones son iguales
• Criterio LAL – necesitamos conocer 2 lados y el ángulo comprendido de cada triángulo
• Criterio AA – basta con conocer 2 ángulos de cada triángulo (el más sencillo de aplicar)

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Cuándo usar cada criterio

• Conoces todos los lados de ambos triángulos → usa el criterio LLL
• Conoces dos lados y el ángulo comprendido → usa el criterio LAL
• Conoces los ángulos → usa el criterio AA

Procedimiento práctico:

• Primero, observa qué datos tienes
• Si tienes ángulos, comienza con el criterio AA, que es el más sencillo
• Si tienes lados, prueba con el criterio LLL
• Si tienes una combinación de lados y ángulos, utiliza el criterio LAL

👉 Ejemplos de uso de cada criterio: Ejemplos resueltos de semejanza de triángulos

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Practica

• 🔢 Razón de semejanza: Cálculo de la razón de semejanza
• 📐 Lados desconocidos: Cálculo de un lado desconocido
• 🔍 Criterios de semejanza: Identificación del criterio de semejanza
• 🧮 Ejercicios variados: Ejercicios variados de semejanza