Semejanza de triángulos – Ejemplos resueltos

Contenido

• Ejemplo 1: Cálculo de la razón de semejanza
• Ejemplo 2: Cálculo de un lado desconocido
• Ejemplo 3: Determinar la semejanza mediante el criterio LLL
• Ejemplo 4: Aplicación del criterio LAL
• Ejemplo 5: Aplicación del criterio AA
• Ejemplo 6: Problema con enunciado – altura de un árbol
• Artículos relacionados

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Ejemplo 1: Cálculo de la razón de semejanza

Enunciado: El triángulo $ABC$ tiene lados $a=5$ cm, $b=8$ cm, $c=10$ cm. El triángulo $DEF$ tiene lados $d=7,5$ cm, $e=12$ cm, $f=15$ cm. Calcula la razón de semejanza. Resolución:

Ordenamos los lados de menor a mayor y calculamos las razones:

Todas las razones son iguales, por lo tanto $△ABC\sim △DEF$ con coeficiente $k=1,5$.

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Ejemplo 2: Cálculo de un lado desconocido

Enunciado: Los triángulos $ABC\sim DEF$ con coeficiente $k=3$. Lados de $△ABC$: $a=4$ cm, $b=5$ cm, $c=7$ cm. Calcula los lados de $△DEF$. Resolución:

Dado que $k=3$, multiplicamos cada lado por el coeficiente:

Lados de $△DEF$: $d=12$ cm, $e=15$ cm, $f=21$ cm.

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Ejemplo 3: Determinar la semejanza mediante el criterio LLL

Enunciado: ¿Son semejantes los triángulos $ABC$ ($a=6$, $b=9$, $c=12$) y $DEF$ ($d=4$, $e=6$, $f=8$)? Resolución:

Ordenamos los lados de menor a mayor:

$△ABC$: $6,9,12$ y $△DEF$: $4,6,8$

Calculamos las razones de los lados correspondientes:

Todas las razones son iguales ($k=1,5$), así que sí, los triángulos son semejantes según el criterio LLL.

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Ejemplo 4: Aplicación del criterio LAL

Enunciado: $△ABC$: $a=5$ cm, $b=8$ cm, ángulo $\gamma =45°$. $△DEF$: $d=10$ cm, $e=16$ cm, ángulo ${\gamma }^{\prime }=45°$. ¿Son semejantes? Resolución:

Comprobamos las razones de los dos pares de lados:

Las razones son iguales ($k=2$) y el ángulo comprendido es igual ($\gamma ={\gamma }^{\prime }=45°$).

Según el criterio LAL, los triángulos son semejantes: $△ABC\sim △DEF$.

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Ejemplo 5: Aplicación del criterio AA

Enunciado: En el triángulo $ABC$ se tiene $\alpha =35°$ y $\beta =85°$. En el triángulo $DEF$ se tiene $\delta =35°$ y $\epsilon =85°$. ¿Son semejantes los triángulos? Resolución:

Dos ángulos coinciden: $\alpha =\delta =35°$ y $\beta =\epsilon =85°$.

El tercer ángulo también debe coincidir:

Según el criterio AA, los triángulos son semejantes: $△ABC\sim △DEF$. ✓

💡 Para aplicar el criterio AA bastó con verificar dos ángulos: el tercero coincide automáticamente.

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Ejemplo 6: Problema con enunciado – altura de un árbol

Enunciado: Una vara de $2$ m de altura proyecta una sombra de $3$ m. Un árbol, en el mismo instante, proyecta una sombra de $12$ m. ¿Cuál es la altura del árbol? Resolución:

Los rayos de sol inciden con el mismo ángulo, por lo que la sombra de la vara y la sombra del árbol forman triángulos rectángulos semejantes (mismo ángulo de incidencia + ángulo recto = criterio AA).

Razón de semejanza:

Altura del árbol:

El árbol mide 8 m de altura.

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• Razón de semejanza: Razón (coeficiente) de semejanza
• Criterios de semejanza: Criterios de semejanza de triángulos – LLL, LAL, AA

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Practica

• 🔢 Razón de semejanza: Cálculo de la razón de semejanza
• 📐 Lados desconocidos: Cálculo de un lado desconocido
• 🔍 Criterios de semejanza: Identificación del criterio de semejanza
• 🧮 Ejercicios variados: Ejercicios variados de semejanza