Inecuaciones lineales con paréntesis

Tabla de contenido

1. La ley distributiva en inecuaciones
2. Procedimiento de resolución
3. Ejemplos
4. Paréntesis con signo negativo delante
5. Verificación de la solución
6. Errores frecuentes
7. Ejercicios interactivos

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1. La ley distributiva en inecuaciones

Al resolver inecuaciones con paréntesis aplicamos la misma ley distributiva que con las ecuaciones:

Esta ley se aplica a todas las operaciones, incluidas las desigualdades. Expandir los paréntesis no cambia el sentido de la desigualdad.

ATENCIÓN: Si delante del paréntesis hay un número negativo, hay que cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis:

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2. Procedimiento de resolución

La resolución de inecuaciones con paréntesis sigue estos pasos:

1. Expandir los paréntesis — aplicar la ley distributiva a cada paréntesis
2. Simplificar ambos lados — agrupar los términos semejantes en cada lado
3. Trasladar los términos con la incógnita a un lado — los términos sin incógnita al otro
4. Resolver la inecuación — dividir entre el coeficiente de la incógnita
5. Comprobar si hay que invertir el sentido — si se divide por un número negativo, ¡el sentido de la desigualdad se invierte!

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3. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver: $2(x+3)>10$

Paso 1: Expandimos el paréntesis Paso 2: Restamos 6 de ambos lados Paso 3: Dividimos entre 2 Solución: $x>2$, intervalo $(2,\infty )$

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Ejemplo 2

Resolver: $3(x-4)\le 2x+5$

Paso 1: Expandimos el paréntesis Paso 2: Restamos $2x$ de ambos lados Paso 3: Sumamos 12 a ambos lados Solución: $x\le 17$, intervalo $(-\infty ,17]$

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Ejemplo 3

Resolver: $-(2x+1)>x-7$

Paso 1: Expandimos el paréntesis (¡atención al signo negativo!) Paso 2: Restamos $x$ de ambos lados Paso 3: Sumamos 1 a ambos lados Paso 4: Dividimos entre $-3$ — ¡INVERTIMOS EL SENTIDO! Solución: $x<2$, intervalo $(-\infty ,2)$ Importante: Al dividir por el número negativo $-3$, invertimos el signo de $>$ a $<$.

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Ejemplo 4

Resolver: $4(x-1)-2(x+3)\ge 0$

Paso 1: Expandimos ambos paréntesis Paso 2: Agrupamos los términos semejantes Paso 3: Sumamos 10 a ambos lados Paso 4: Dividimos entre 2 Solución: $x\ge 5$, intervalo $[5,\infty )$

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Ejemplo 5

Resolver: $5-3(2x-1)<2(x+4)$

Paso 1: Expandimos los paréntesis Paso 2: Agrupamos los términos semejantes en el lado izquierdo Paso 3: Sumamos $6x$ a ambos lados Paso 4: Restamos 8 de ambos lados Paso 5: Dividimos entre 8 Solución: $x>0$, intervalo $(0,\infty )$

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4. Paréntesis con signo negativo delante

El signo negativo delante de un paréntesis requiere atención especial. El signo menos delante del paréntesis equivale a multiplicar por $-1$:

Regla

Cuando se elimina un paréntesis con signo negativo delante, se cambia el signo de cada término dentro del paréntesis:

• El más se convierte en menos
• El menos se convierte en más

Ejemplo

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5. Verificación de la solución

Al verificar la solución de una inecuación, sustituimos un número que pertenezca al conjunto solución.

Verificación del Ejemplo 3: $-(2x+1)>x-7$, solución $x<2$

Sustituimos $x=0$ (número menor que 2):

• Lado izquierdo: $-(2\cdot 0+1)=-(0+1)=-1$
• Lado derecho: $0-7=-7$
• Verificación: $-1>-7$ ... $✓$ VERDADERO

Sustituimos $x=3$ (número mayor que 2, no debería cumplirse):

• Lado izquierdo: $-(2\cdot 3+1)=-(7)=-7$
• Lado derecho: $3-7=-4$
• Verificación: $-7>-4$ ... $\times$ FALSO

La solución $x<2$ es correcta.

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6. Errores frecuentes

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Ejercicios interactivos

• Inecuaciones - Con paréntesis - Practique la resolución de inecuaciones con paréntesis

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