Das Prinzip der schriftlichen Multiplikation

Die schriftliche Multiplikation ist nicht nur ein Rezept, das man auswendig lernt. Sie beruht auf einer einfachen Idee, die du schon kennst – auf den Stellenwerten der Zahlen – und auf dem Distributivgesetz (das die Multiplikation in Additionen zerlegt).

Den unteren Faktor zerlegen

Wenn du mit $56$ multiplizierst, kannst du diese Zahl nach Stellenwerten zerlegen:

56 = 50 + 6

Aus dem Distributivgesetz folgt, dass eine beliebige Zahl $A$ mal $56$ dasselbe ist wie:

A \times 56 = A \times 50 + A \times 6

Mit anderen Worten: Auf jede Ziffer des unteren Faktors entfällt ein Teilprodukt. Bei einem zweistelligen Faktor hast du zwei Teilprodukte, bei einem dreistelligen drei, bei einem vierstelligen vier.

Warum verschieben wir die Teilprodukte?

Sieh dir das zweite Teilprodukt an, $A \times 50$ . Mit $50$ zu multiplizieren ist dasselbe wie mit $5$ und dann mit $10$ zu multiplizieren:

A \times 50 = (A \times 5) \times 10

Multiplikation mit $10$ verschiebt jede Ziffer um eine Stelle nach links (rechts kommt eine Null hinzu). Im schriftlichen Schema sparen wir Platz – wir schreiben die Null nicht, sondern setzen das Teilprodukt einfach um eine Spalte nach links. Visuell ist es dieselbe Verschiebung.

Bei einem dreistelligen Faktor:

A \times 234 = A \times 200 + A \times 30 + A \times 4

$A \times 4$ bleibt an seinem Platz.
$A \times 30 = (A \times 3) \times 10$ → eine Stelle nach links versetzt.
$A \times 200 = (A \times 2) \times 100$ → zwei Stellen nach links versetzt.

Jede Ziffer des unteren Faktors, die eine Stelle weiter links steht, ergibt eine Stelle weitere Verschiebung im Teilprodukt.

Warum kann ein Teilprodukt eine Ziffer länger sein

Eine vierstellige Zahl mit einer einzelnen Ziffer multipliziert ergibt ein Ergebnis, das bis zu eine Ziffer länger ist. Zum Beispiel:

9999 \times 9 = 89991

Deshalb muss das Feld für ein Teilprodukt eine Stelle breiter als der obere Faktor sein – für den möglichen Übertrag aus der Multiplikation. Unser Übungsgenerator macht das automatisch: Die Felder für die Teilprodukte haben immer ein Feld mehr als der obere Faktor Stellen hat.

Der letzte Schritt: Addition

Wenn alle Teilprodukte richtig versetzt sind, addierst du sie spaltenweise. Das Ergebnis hat höchstens $Stellen(oben) + Stellen(unten)$ Stellen.

Zum Beispiel $9999 \times 9999 = 99980001$ – das sind 8 Stellen, genau wie erwartet (4 + 4).

Zusammenfassung

Für das Produkt $A \times B$ , wobei $B$ aus $n$ Stellen $b_{n - 1} b_{n - 2} \dots b_{1} b_{0}$ besteht:

Berechne $n$ Teilprodukte: $A \times b_{0}, A \times b_{1}, \dots, A \times b_{n - 1}$ .
Verschiebe das $i$ -te Teilprodukt um $i$ Stellen nach links.
Addiere alle Teilprodukte.

Das ist der ganze Algorithmus – und jetzt weißt du, warum er funktioniert.

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Üben

Schriftliche Multiplikation mit mehrstelligen Zahlen