Periodische vs abbrechende Dezimalzahlen
Versuch `1 : 4` im Kopf. Du bekommst ein schönes 0,25 — fertig. Probier nun `1 : 3`. Du bekommst 0,333… — die Dreien gehen unendlich weiter. Warum?
Die Antwort ist kurz: es hängt allein vom Nenner des Bruchs in gekürzter Form ab.
Die Regel
Ein gekürzter Bruch `n/d` ist:
- abbrechend — wenn der Nenner `d` nur 2 und 5 als Primfaktoren hat (oder gar keine);
- periodisch — wenn `d` einen anderen Primfaktor enthält (3, 7, 11, 13, …).
Beispiele — abbrechend
| Bruch | Dezimalzahl | Nenner |
| 1/2 | 0,5 | 2 |
| 1/4 | 0,25 | 4 = 2·2 |
| 1/5 | 0,2 | 5 |
| 1/8 | 0,125 | 8 = 2³ |
| 3/20 | 0,15 | 20 = 2²·5 |
Beispiele — periodisch
| Bruch | Dezimalzahl | Nenner |
| 1/3 | 0,333… | 3 |
| 1/6 | 0,1666… | 6 = 2·3 |
| 1/7 | 0,142857142857… | 7 |
| 1/9 | 0,111… | 9 = 3² |
| 5/11 | 0,4545… | 11 |
In manchen Fällen (1/6, 1/12, …) beginnt die Wiederholung nicht sofort — du hast zuerst ein paar feste Ziffern und erst danach kommt die Periode. Das ist trotzdem eine periodische Dezimalzahl.
Warum das funktioniert
Unser Dezimalsystem hat die Basis 10 = 2 × 5. Um `n/d` sauber als Dezimalzahl zu schreiben, musst du den Nenner als Zehnerpotenz darstellen. Das geht nur, wenn `d` ausschließlich 2en und 5en in seiner Zerlegung hat.
Als Zehnerpotenz: `1/8 = 125/1000` (wir haben mit 125 multipliziert, denn 8 × 125 = 1000). Das ergibt 0,125.
Hat der Nenner auch eine 3, 7 oder einen anderen „ungeraden" Primfaktor, kannst du ihn nie zu einer Zehnerpotenz machen — daher wiederholt sich die Darstellung zwangsläufig.
Tipps zur Erkennung
- Zuerst den Bruch vollständig kürzen.
- Schau den Nenner an: wenn du ihn nur in 2en und 5en zerlegen kannst, bricht die Dezimalzahl ab.
- 6 = 2 × 3 → periodisch. 12 = 2² × 3 → periodisch. 21 = 3 × 7 → periodisch.